MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 162

Gdy $|x|\to\infty$, potęga $(1/2)^{|x|-2}$ dąży do zera. Wyrażenie pod modułem dąży więc do $-3$, a jego wartość bezwzględna do $3$.

Najmniejsze $|x|$ występuje dla $x=0$, więc najmniejsza wartość to $5^1-2=3$. Dla $x\le0$ wartość $|x|$ maleje wraz ze wzrostem $x$, a dla $x\ge0$ rośnie. Stąd funkcja maleje na $(-\infty,0]$ i rośnie na $[0,\infty)$.

Obie strony są funkcjami parzystymi. Dla $t=|x|\ge0$ funkcja $2^t$ jest rosnąca, a $8-t^2$ malejąca, więc mają najwyżej jeden punkt wspólny. Dla $t=2$ obie wartości są równe $4$.

Dla $t=|x|\ge0$ równanie przyjmuje postać $3^t+t^2=4$. Lewa strona jest ściśle rosnąca, a dla $t=1$ ma wartość $4$, więc jest to jedyne nieujemne rozwiązanie dla $t$.

Ponieważ $4^{|x-3|}\ge1$, lewa strona przyjmuje dokładnie wartości z przedziału $[3,\infty)$.