MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 16

Początkowe pole trawnika wynosi (12\cdot8=96). Po powiększeniu ma być równe (96+69=165), więc [ (12+x)(8+x)=165. ] Po rozwinięciu: [ x^2+20x-69=0=(x-3)(x+23). ] Szerokość powiększenia musi być dodatnia, zatem wybieramy (x=3).

Niech długości boków będą równe (3n), (3(n+1)), (3(n+2)), a ostatni z nich niech będzie przeciwprostokątną. Z twierdzenia Pitagorasa: [ [3n]^2+[3(n+1)]^2=[3(n+2)]^2. ] Po podzieleniu przez (9) i uproszczeniu: [ n^2-2n-3=0, ] więc dodatnim rozwiązaniem jest (n=3). Boki mają długości (9,12,15), zatem pole wynosi [ \frac12\cdot9\cdot12=54. ]

Trzydzieści arów to (3000,\mathrm{m}^2). Jeśli krótszy bok ma (x) metrów, drugi ma (x+10), więc [ x(x+10)=3000. ] Równanie (x^2+10x-3000=0) ma pierwiastki [ x=\frac{-10\pm110}{2}, ] czyli (50) i (-60). Dopuszczalna jest długość (50), a drugi bok wynosi (60).

Pole obrazu wynosi (40\cdot30=1200,\mathrm{cm}^2), więc pole samej ramy ma wynosić (\frac23\cdot1200=800,\mathrm{cm}^2). Zewnętrzne wymiary oprawy to (40+2x) i (30+2x), zatem [ (40+2x)(30+2x)-1200=800. ] Po uproszczeniu: [ x^2+35x-200=0=(x-5)(x+40). ] Szerokość jest dodatnia, więc (x=5).