MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 15

a) Parabola ma ramiona w górę, a wierzchołek dla (x=\frac13), należącego do ([0,2]). Minimum: [ f\left(\frac13\right)=-\frac43. ] Na końcach: (f(0)=-1), (f(2)=7), więc maksimum wynosi (7).

b) Parabola ma ramiona w dół, a jej wierzchołek (x=\frac83) leży poza ([-1,2]). Funkcja na tym przedziale rośnie. Zatem minimum to (f(-1)=-\frac{23}{4}), a maksimum (f(2)=4).

Niech składniki będą równe (x) i (12-x). Suma ich kwadratów: [ S(x)=x^2+(12-x)^2=2(x-6)^2+72. ] Najmniejsza wartość jest dla (x=6), zatem oba składniki są równe (6).

Niech (a) będzie krawędzią kwadratowej podstawy, a (h) wysokością. Szkielet ma osiem krawędzi długości (a) i cztery długości (h): [ 8a+4h=80,\qquad h=20-2a. ] Pole całkowite: [ P(a)=2a^2+4ah=2a^2+4a(20-2a)=-6a^2+80a. ] Maksimum tej funkcji przypada dla [ a=-\frac{80}{2(-6)}=\frac{20}{3}. ] Wtedy również (h=20-2a=\frac{20}{3}).

Mianownik można zapisać w postaci [ x^2-4x+5=(x-2)^2+1\ge1. ] Dla (x=2), który należy do ([1,5]), mianownik przyjmuje najmniejszą wartość (1). Jest zawsze dodatni, więc odwrotność ma wtedy największą wartość: [ f(2)=\frac11=1. ]