MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 156

Niech połowa podstawy ma długość $x$, a ramię $s$. Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, więc $s^2=x^2+36^2$. Pole i półobwód wynoszą odpowiednio $36x$ i $x+s$. Z warunku na promień wpisany: $10=\frac{36x}{x+s},\qquad s=\frac{13}{5}x.$ Po podstawieniu do twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $x=15$ i $s=39$. Podstawa ma więc długość $30$, a pole $540$. Promień okręgu opisanego:

$$$$

Z równości odcinków stycznych poprowadzonych z jednego punktu przyjmijmy $CS=2x$, $SB=5x$. Wtedy ramię ma długość $7x$, krótsza podstawa $4x$, a dłuższa $10x$. Różnica połówek podstaw wynosi $3x$, a wysokość trapezu jest średnicą okręgu, czyli $2r$. Zatem $(7x)^2=(3x)^2+(2r)^2,$ skąd $x=r/\sqrt{10}$ i $|BC|=7r/\sqrt{10}$.

W układzie z $B=(5x,0)$, $C=(2x,2r)$, $D=(-2x,2r)$ mamy $\overrightarrow{BC}=(-3x,2r)$ oraz $\overrightarrow{BD}=(-7x,2r)$. Ponieważ $4r^2=40x^2$, otrzymujemy

$$=\frac{61}{7\sqrt{89}}=\frac{61\sqrt{89}}{623}.$$