Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 155

temat „Przed maturą z matematyki na poziomie rozszerzonym” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 3

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Niech x=ACx=AC. Kąty ABCABC i ADCADC są przeciwległe w czworokącie wpisanym, więc ich cosinusy mają przeciwne znaki. Z twierdzenia cosinusów cos⁡B=22+32−x22⋅2⋅3=13−x212,\cos B=\frac{2^2+3^2-x^2}{2\cdot2\cdot3}=\frac{13-x^2}{12}, cos⁡D=52+42−x22⋅5⋅4=41−x240.\cos D=\frac{5^2+4^2-x^2}{2\cdot5\cdot4}=\frac{41-x^2}{40}. Równanie cos⁡D=−cos⁡B\cos D=-\cos B daje 12(41−x2)=40(x2−13)12(41-x^2)=40(x^2-13), czyli x2=253/13x^2=253/13.

Odpowiedź

∣AC∣=25313|AC|=\sqrt{\frac{253}{13}}.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Niech AD=3xAD=3x, DB=4xDB=4x, a α=∠BAC\alpha=\angle BAC. Z twierdzenia cosinusów w trójkątach ADCADC i ABCABC otrzymujemy

=\frac{7x^2+27}{34x}.$$ Stąd $x=3$, więc $AB=21$. Po podstawieniu $\cos\alpha=15/17$, zatem $\sin\alpha=8/17$. Pole trójkąta wynosi $$\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\alpha =\frac12\cdot21\cdot17\cdot\frac8{17}=84.$$
Odpowiedź

PABC=84P_{ABC}=84.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem