MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 154

Każdy mały łuk ma miarę $360^\circ/24=15^\circ$. Dla kąta utworzonego przez przecinające się wewnątrz okręgu cięciwy bierzemy połowę sumy łuków wyznaczonych przez jego ramiona i ramiona kąta wierzchołkowego. Łuk $P_{16}P_{11}$ obejmuje $5$ części, a łuk $P_1P_{22}$ — $3$ części. Zatem $\angle P_{16}AP_{11}=\frac12(5\cdot15^\circ+3\cdot15^\circ)=60^\circ.$

Oznaczmy kąty czworokąta przez $\alpha,\beta,\gamma,\delta$. Z rysunku $P$ jest przecięciem dwusiecznych kątów $A,B$, a $R$ — kątów $C,D$. W trójkącie utworzonym przez wierzchołki $A,B$ i punkt $P$ $\angle SPQ=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}.$ Analogicznie $\angle QRS=180^\circ-\frac{\gamma+\delta}{2}.$ Ponieważ $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$, suma tych dwóch przeciwległych kątów czworokąta $PQRS$ wynosi $180^\circ$. Jest to warunek wpisania czworokąta w okrąg.