MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 153

Niech $x=\angle BAS$. Z równości promieni w trójkątach $ABS$, $ACS$, $BCS$ wynika odpowiednio $\angle ABS=x$, $\angle SAC=3x$, $\angle BCS=2x$. Zatem kąty trójkąta $ABC$ mają miary $\angle A=4x,\qquad\angle B=3x,\qquad\angle C=5x.$ Ich suma daje $12x=180^\circ$, więc $x=15^\circ$.

Przyjmijmy bok trójkąta równy $5$ i współrzędne $A=(0,0)$, $B=(5,0)$, $C=(5/2,5\sqrt3/2)$. Z podziału $AD:DB=2:3$ mamy $D=(2,0)$. Dla wektorów $\overrightarrow{CA}=(-5/2,-5\sqrt3/2)$ i $\overrightarrow{CD}=(-1/2,-5\sqrt3/2)$ iloczyn skalarny wynosi $20$, a wartość wyznacznika $5\sqrt3$.