MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 150

Odległość środka od cięciwy to wysokość $SK$ w trójkącie prostokątnym $ASK$. Mamy $SK=AS\sin31^\circ=10\sin31^\circ\approx5{,}15,$ co należy do przedziału $[9/2,11/2]$.

Niech kąt wpisany ma miarę $x$. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę $2x$, a z treści $x=2x-20^\circ$. Stąd $x=20^\circ$.

W trójkącie $AOC$ mamy $OA=OC$, więc $\angle CAO=\angle ACO=56^\circ$. Zatem $\angle AOC=68^\circ$. Ponieważ $AB$ jest średnicą, $\angle AOB=180^\circ$, a więc $\alpha=\angle COB=180^\circ-68^\circ=112^\circ$.

Kąt wpisany $ADB=27^\circ$ opiera się na łuku $AB$ o mierze $54^\circ$. Kąt środkowy $ASC=118^\circ$ wyznacza łuk $AC$ przechodzący przez $B$. Zatem łuk $BC$ ma miarę $118^\circ-54^\circ=64^\circ$. Szukany kąt wpisany $BDC$ jest połową tego łuku.

Równanie $(n-2)180^\circ=2160^\circ$ daje $n-2=12$, więc $n=14$.