MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 147

Oznaczmy $AC=x$. Z twierdzenia cosinusów dla boku $BC=9$: $9^2=6^2+x^2-2\cdot6x\cos30^\circ.$ Równanie $x^2-6\sqrt3x-45=0$ ma jeden dodatni pierwiastek $x=3\sqrt3+6\sqrt2$.

Dla kąta $\alpha$ naprzeciw boku $1$ twierdzenie cosinusów daje $\cos\alpha=\frac{(3/2)^2+2^2-1^2}{2\cdot(3/2)\cdot2}=\frac78.$ Kąt jest ostry, więc $\sin\alpha=\sqrt{1-49/64}=\sqrt{15}/8$.

Niech $BD=BC=x$. W trójkącie $ACD$ $\cos\angle ADC=\frac{6^2+14^2-16^2}{2\cdot6\cdot14}=-\frac17.$ Kąt $CDB$ jest do niego przyległy, więc jego cosinus wynosi $1/7$. W trójkącie $BCD$: $x^2=x^2+14^2-2\cdot x\cdot14\cdot\frac17,$ stąd $x=49$. Mamy $AB=6+49=55$.