MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 142

Bok sześciokąta ma długość $12/6=2$ cm i jest równy promieniowi okręgu opisanego. Obwód okręgu wynosi więc $2\pi\cdot2=4\pi$ cm.

Bok kwadratu ma długość $3/\sqrt2$, zatem promień wpisanego okręgu to $3/(2\sqrt2)$. Pole koła wynosi $\pi\cdot9/8=9\pi/8$.

Kąt wewnętrzny ma miarę $180^\circ-360^\circ/n$. Równanie $180-360/n=150$ daje $n=12$.

Długość $AB$ wynosi $\sqrt{(4+2)^2+(-1-5)^2}=6\sqrt2$. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat jest równa bokowi kwadratu.

Dla sześciokąta o boku $a$ promienie okręgów opisanego i wpisanego wynoszą $a$ oraz $a\sqrt3/2$. Pole pierścienia to $\pi a^2/4=9\pi/4$, więc $a=3$. Pole sześciokąta wynosi $(3\sqrt3/2)a^2$.

Liczba przekątnych $n$-kąta wynosi $\frac{n(n-3)}2=n\cdot\frac{n-3}{2}.$ Jeżeli $n$ jest nieparzyste, to $n-3$ jest parzyste, więc $(n-3)/2$ jest liczbą całkowitą. Liczba przekątnych jest zatem wielokrotnością $n$.