MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 141

Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu, czyli $8$. Najkrótszy bok $6$ jest krótszą podstawą. Niech dłuższa podstawa ma długość $b$. Z warunku styczności ramię ukośne ma długość $b-2$. Z twierdzenia Pitagorasa $(b-6)^2+8^2=(b-2)^2,$ skąd $b=12$.

Oznaczmy podstawy przez $a,b$, ramię przez $l$. Z warunku styczności $a+b=2l$. Wysokość trapezu wynosi $2r$, a poziomy rzut ramienia $|a-b|/2$. Zatem $l^2=4r^2+\frac{(a-b)^2}{4}.$ Po podstawieniu $l=(a+b)/2$ i odjęciu kwadratów otrzymujemy $(a+b)^2-(a-b)^2=16r^2$, czyli $4ab=16r^2$.