MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 139

Punkty $A,E,C$ oraz $A,D,B$ są współliniowe, więc oba trójkąty mają wspólny kąt przy $A$. W czworokącie wpisanym $EDBC$ kąty $DEC$ i $DBC$ są przeciwległe, zatem sumują się do $180^\circ$. Jednocześnie $\angle AED$ jest dopełnieniem $\angle DEC$ do $180^\circ$, więc $\angle AED=\angle DBC=\angle ABC$. Trójkąty są podobne z cechy kąt–kąt.

Oznaczmy kąty trójkąta przez $\alpha,\beta,\gamma$ przy $A,B,C$. Z kolejnych symetrii otrzymujemy trójkąty równoramienne $AKL$, $CLM$, $BMN$. Stąd $\angle KLM=\frac{\alpha+\gamma}{2}=90^\circ-\frac\beta2.$ W trójkącie $BMN$ kąt przy $N$ od strony $NB$ ma miarę $90^\circ-\beta/2$. Ponieważ $NK$ jest przedłużeniem $NB$, kąt wewnętrzny czworokąta przy $N$ ma miarę $\angle KNM=90^\circ+\beta/2$. Zatem $\angle KLM+\angle KNM=180^\circ,$ co jest warunkiem wpisania czworokąta w okrąg.