MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 138

W czworokącie wpisanym kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$, więc $\angle CBA=60^\circ$. Kąt $BAD$ jest wpisany i oparty na tym samym łuku co kąt środkowy $DOB=80^\circ$, zatem $\angle BAD=40^\circ$. Stąd $\angle DCB=180^\circ-40^\circ=140^\circ$.

Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny. Niech dłuższa podstawa $AB=12$ będzie średnicą. W trójkącie prostokątnym $ADB$ mamy $\angle A=75^\circ$, więc wysokość trapezu jest równa $12\sin75^\circ\cos75^\circ=3$. Krótsza podstawa ma długość $2\cdot6\sin60^\circ=6\sqrt3$. Zatem $P=\frac{12+6\sqrt3}{2}\cdot3=9(2+\sqrt3).$

Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny. Ustawmy jego podstawy symetrycznie: końce podstawy $8$ w punktach $(\pm4,0)$, a podstawy $4$ w $(\pm2,6)$. Środek okręgu ma postać $(0,t)$. Z równości odległości od punktów $(4,0)$ i $(2,6)$ wynika $16+t^2=4+(6-t)^2$, czyli $t=2$.