MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 136

Oznaczmy $AB=w$, $AD=h$, $BD=d$ i promień obu okręgów wpisanych przez $\rho=(w+h-d)/2$. Przyjmijmy współrzędne $A=(0,0)$, $B=(w,0)$, $D=(0,h)$. Wtedy środek $S=(\rho,\rho)$, a punkt $M=(0,\rho)$. Z warunku $S\in MN$ wynika, że $N$ ma rzędną $\rho$.

Punkt styczności $N$ leży na $BD$, a $DN=(w+d-h)/2$. Porównanie jego rzędnej z $\rho$ daje $\frac{h(h+d-w)}{2d}=\frac{w+h-d}{2}.$ Po użyciu $d^2=w^2+h^2$ równanie sprowadza się do $w(h+d-w)=2h^2.$ Ponieważ $N\in BD$, jego odcięta jest

=\frac{w(h-w+d)}{2h}=h.$$ Odcinek $MN$ jest poziomy i $M=(0,\rho)$, więc $|MN|=x_N=h=|AD|$.