MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 135

Promień okręgu wpisanego wynosi $r=2$. Odcinki styczne z wierzchołka kąta prostego mają po $2$. Jeśli drugi odcinek na przeciwprostokątnej ma długość $t$, to przyprostokątne mają długości $12$ i $t+2$, a przeciwprostokątna $t+10$. Z twierdzenia Pitagorasa $12^2+(t+2)^2=(t+10)^2,$ skąd $t=3$. Przyprostokątne mają więc długości $12$ i $5$.

Niech druga przyprostokątna ma długość $b$, a przeciwprostokątna $c$. Dla trójkąta prostokątnego $r=(10+b-c)/2=3$, więc $c=b+4$. Z równania $10^2+b^2=(b+4)^2$ otrzymujemy $b=10{,}5$.

Wysokość ma długość $\sqrt{7^2-2^2}=3\sqrt5$, więc pole $P=6\sqrt5$, a półobwód $s=9$. Stąd $r=P/s=2\sqrt5/3$. Ponadto $R=\frac{7\cdot7\cdot4}{4P}=\frac{49\sqrt5}{30}.$ Zatem $R/r=49/20$.

Trójkąty $CBD$ i $DAC$ są podobne do trójkąta $ABC$. Promienie ich okręgów wpisanych zmieniają się w tej samej skali co odpowiadające im przeciwprostokątne, zatem $\frac{r_{CBD}}{r_{DAC}}=\frac{|BC|}{|AC|}.$ Jeżeli — zgodnie z intencją klucza — $|BC|=5$ i $|AC|=12$, stosunek wynosi $5/12$. Treść nie przypisuje jednak liczb $5,12$ do nazwanych przyprostokątnych; po zamianie oznaczeń otrzymuje się stosunek odwrotny.