MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 134

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość $r=a\sqrt3/6=4\sqrt3/3$. Stąd $P_k=\pi r^2=16\pi/3$.

Z $2\pi R=12\pi$ wynika $R=6$. W trójkącie równobocznym $R=2r$, zatem $r=3$ i pole koła wpisanego wynosi $9\pi$ cm$^2$.

Dla trójkąta równobocznego $R=2r$, więc szerokość pierścienia $R-r=r$. Zatem $r=4$ i $R=8$. Pole pierścienia to $\pi(8^2-4^2)=48\pi$. Bok trójkąta ma długość $2\sqrt3r=8\sqrt3$, więc jego pole wynosi $48\sqrt3$.

Pole trójkąta wynosi $P=\frac12\cdot6\cdot8\sin60^\circ=12\sqrt3$. Z twierdzenia cosinusów trzeci bok ma długość $\sqrt{36+64-48}=2\sqrt{13}$. Półobwód to $7+\sqrt{13}$, stąd

Trzeci bok $c$ spełnia $c^2=6^2+(3\sqrt3+4)^2-2\cdot6(3\sqrt3+4)\cos30^\circ=25,$ czyli $c=5$. Pole wynosi $(9\sqrt3+12)/2$, a półobwód $(15+3\sqrt3)/2$. Zatem $r=\frac{9\sqrt3+12}{15+3\sqrt3}=\frac{\sqrt3+1}{2}.$