MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 132

W trójkącie równobocznym $R=\frac23h=2$ cm. Pole koła wynosi $\pi R^2=4\pi\ \mathrm{cm}^2$.

Z $\pi R^2=12\pi$ mamy $R=2\sqrt3$. Dla trójkąta równobocznego $R=a/\sqrt3$, więc $a=R\sqrt3=6$ cm.

Przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$. Jest ona średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, zatem obwód koła jest równy $\pi\sqrt{41}$ cm.

Jest to trójkąt $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$. Krótsza przyprostokątna $3$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$, więc przeciwprostokątna ma długość $6$. Promień okręgu opisanego wynosi $3$, a jego obwód $6\pi$ cm.

Kąty przy podstawie mają po $75^\circ$. Długość ramienia z twierdzenia sinusów wynosi $2R\sin75^\circ=12\sin75^\circ$. Szukana wysokość dzieli kąt wierzchołkowy na dwa kąty po $15^\circ$, więc

Ponieważ $7+8=15$, trójkąt jest prostokątny, a bok $\sqrt{15}$ jest przeciwprostokątną. Promień okręgu opisanego jest jej połową.