MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 13

Funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy [ \Delta=m^2-12<0. ] Stąd (-2\sqrt3<m<2\sqrt3). Liczbami całkowitymi w tym przedziale są (-3,-2,-1,0,1,2,3), czyli siedem wartości.

Równanie ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy [ \Delta=m^2-4(m+3)=m^2-4m-12=(m+2)(m-6)>0. ] Iloczyn jest dodatni poza pierwiastkami (-2) i (6).

Aby trójmian przyjmował wyłącznie wartości dodatnie, musi mieć ramiona skierowane w górę i nie mieć miejsc zerowych: [ m+1>0,\qquad \Delta<0. ] Pierwszy warunek daje (m>-1). Wyróżnik: [ \Delta=(-2m)^2-4(m+1)(m+3)=-16m-12. ] Zatem (\Delta<0) dokładnie dla (m>-\frac34), co automatycznie spełnia także pierwszy warunek.

Dla równania monicznego dwa pierwiastki ujemne wymagają: [ \Delta>0,\qquad x_1+x_2=-3m<0,\qquad x_1x_2=2m-4>0. ] Z sumy wynika (m>0), a z iloczynu (m>2). Dla (m>2) wyróżnik (\Delta=9m^2-8m+16) jest dodatni (sam ten trójmian nie ma rzeczywistych miejsc zerowych i ma dodatni współczynnik wiodący).