MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 12

Oznaczmy (S=x_1+x_2) i (P=x_1x_2=-5). Mamy [ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} =\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} =\frac{S^2-2P}{P}. ] Ponieważ prawa strona warunku to (-\frac{41}{20}), [ \frac{S^2+10}{-5}=-\frac{41}{20}, ] stąd (S^2=\frac14), czyli (S=\pm\frac12).

Funkcja ma postać (f(x)=a(x^2-Sx-5)). Dla (S=\frac12) punkt ((-2,4)) prowadziłby do (4=a\cdot0), co jest niemożliwe. Zatem (S=-\frac12), a [ 4=a\left(4-1-5\right)=-2a, ] więc (a=-2).

Niech (S=x_1+x_2), (P=x_1x_2=\frac32). Wtedy [ \frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2} =\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2} =\frac{S^2-2P}{P^2}. ] Zatem [ \frac{S^2-3}{9/4}=\frac{52}{9}, ] czyli (S^2=16) i (S=\pm4).

Mamy (f(x)=a(x^2-Sx+\frac32)). Dla (S=4), z warunku (f(4)=3) otrzymujemy (3=\frac32a), więc (a=2), co daje współczynniki całkowite. Dla (S=-4) byłoby (a=\frac6{67}), a więc współczynniki nie byłyby całkowite.