MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 11

Z warunku (x_1x_2=8) i (x_1=-2) otrzymujemy (x_2=-4). Ze wzorów Viète'a: [ x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c. ] Suma pierwiastków wynosi (-6), więc (b=6), natomiast (c=8).

a) Wyróżnik równania wynosi [ \Delta=15^2-4\cdot(-7)\cdot(-7)=29>0, ] więc są dwa pierwiastki. Ich iloczyn (\frac ca=1>0), a suma (-\frac ba=\frac{15}{7}>0); oba pierwiastki są dodatnie.

b) Iloczyn pierwiastków wynosi [ \frac{1-\sqrt2}{6}<0, ] więc — gdy tylko pierwiastki istnieją — mają przeciwne znaki. Istnienie można sprawdzić z wyróżnika: [ \Delta=(3\sqrt2-1)^2-24(1-\sqrt2)=19+18\sqrt2>0. ]

Wyróżnik równania (5x^2-8x-10=0) jest równy (\Delta=64+200=264>0), zatem istnieją dwa różne pierwiastki. Ze wzorów Viète'a: [ S=x_1+x_2=\frac85,\qquad P=x_1x_2=-2. ] a) (\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac SP=-\frac45).

b) (x_1^2+x_2^2=S^2-2P=\frac{64}{25}+4=\frac{164}{25}).

c) ((x_1-x_2)^2=S^2-4P=\frac{64}{25}+8=\frac{264}{25}).