MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 119

Przekątne odpowiadają wektorom ((3,5)) i ((3,-5)). Ich długości to (\sqrt{34}), a wartość bezwzględna wyznacznika wynosi (30). Sinus kąta ostrego jest więc równy (30/34=15/17).

Niech (c) będzie przeciwprostokątną, a (a,b) przyprostokątnymi. Sinusy kątów ostrych to (a/c) i (b/c). Z założenia (|a-b|/c=1/2). Po podniesieniu do kwadratu i użyciu (c^2=a^2+b^2): (4(a-b)^2=a^2+b^2), czyli (3a^2+3b^2=8ab).

Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem równoległoboku, więc wysokości względem dwóch boków są dwa razy większe od podanych odległości: (8) i (4\sqrt3). Ponieważ kąt ma (30^\circ), odpowiadające boki mają długości (16) i (8\sqrt3). Pole wynosi (16\cdot8\sqrt3\cdot\sin30^\circ=64\sqrt3).

Z trójkąta utworzonego przez bok i przekątne wynika, że kąt między przekątnymi ma (60^\circ) (jego dopełniający kąt ma (120^\circ)). Pole czworokąta o przekątnych (d_1,d_2) i kącie (\gamma) jest równe (\frac12d_1d_2\sin\gamma). Stąd (P=\frac12\cdot8\cdot12\sin60^\circ=24\sqrt3).