MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 113

Punkt przecięcia przekątnych trapezu dzieli je w stosunku długości podstaw. Stosunek (1:2) i krótsza podstawa (4) dają dłuższą podstawę (8). W trapezie równoramiennym o prostopadłych przekątnych wysokość jest równa połowie sumy podstaw, czyli (6). Stąd (P=\frac{4+8}{2}\cdot6=36).

Różnica podstaw wynosi (6). Rzuty poziome ramion mają długości (h\operatorname{ctg}30^\circ=h\sqrt3) oraz (h\operatorname{ctg}45^\circ=h). Zatem (h(\sqrt3+1)=6), czyli (h=3(\sqrt3-1)).

Przekątna (BD) dzieli trójkąt prostokątny równoramienny (ABD), więc (BD=3\sqrt2), (P_{ABD}=9/2), a kąty przy (B,D) mają po (45^\circ). W trójkącie (BCD) pozostają kąty (30^\circ,60^\circ,90^\circ); przyprostokątna (CD=BD/\sqrt3=\sqrt6). Zatem (P_{BCD}=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot\sqrt6=3\sqrt3).

Z twierdzenia Varignona środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok o polu równym połowie pola czworokąta wyjściowego.