MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 111

Niech (AC=x). Z twierdzenia cosinusów: [ (2\sqrt{13})^2=8^2+x^2-2\cdot8x\cos60^\circ, ] czyli (x^2-8x+12=0). Stąd (x=2) lub (x=6). Odpowiadające pola (\frac12\cdot8x\sin60^\circ) wynoszą (4\sqrt3) i (12\sqrt3).

Przyjmijmy bok trójkąta równy (5k). Współrzędne można obrać jako (B=(0,0)), (C=(5k,0)), (A=(\frac52k,\frac{5\sqrt3}{2}k)), (P=(4k,0)). Wtedy (AP=\sqrt{21}k), a wysokość z (A) do prostej (PB) wynosi (\frac{5\sqrt3}{2}k). Zatem (\sin\angle APB=\frac{5\sqrt3}{2\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt7}{14}).