MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 110

Ponieważ (\alpha+\beta=90^\circ), mamy (\operatorname{ctg}\beta=\operatorname{tg}\alpha). Warunek daje ((\sin\alpha+1)/\cos\alpha=5), czyli (\sin\alpha=5\cos\alpha-1). Po użyciu jedynki trygonometrycznej otrzymujemy (26\cos^2\alpha-10\cos\alpha=0), zatem (\cos\alpha=5/13) i (\sin\alpha=12/13). Przyprostokątna naprzeciw (\alpha) ma długość 12, druga ma więc długość 5. Pole: (\frac12\cdot12\cdot5=30).

Mamy (\operatorname{tg}\beta=\operatorname{ctg}\alpha), więc ((\cos\alpha+1)/\sin\alpha=2). Stąd (\cos\alpha=2\sin\alpha-1). Jedynka trygonometryczna daje (\sin\alpha=4/5), (\cos\alpha=3/5). Skoro przyprostokątna naprzeciw (\alpha) ma długość 8, druga ma długość 6. Pole wynosi (24).

Z (\cos\alpha=4/5) wynika (\sin\alpha=3/5). Pole całego trójkąta: [ P_{ACD}=\frac12\cdot20\cdot16\cdot\frac35=96. ] Ponieważ (BC=1{,}5AB), mamy (AB=8), a z (AE=ED) wynika (AE=8). Zatem (P_{ABE}=\frac12\cdot8\cdot8\cdot\frac35=\frac{96}{5}), a (P_{BCDE}=96-\frac{96}{5}=\frac{384}{5}).