MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 108

Mamy (\sin^2135^\circ=\sin^245^\circ=\frac12), (\operatorname{tg}45^\circ=1) i (\operatorname{ctg}135^\circ=-1). Zatem [ \frac{\frac12+\frac12}{1-(-1)}=\frac12\in\mathbb Q. ]

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego (\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha). Suma jest równa zeru.

Najpierw [ a=\frac{3\sqrt3}{2}-\frac{4\sqrt3}{2}-\frac{5\sqrt2}{2} =-\frac{\sqrt3+5\sqrt2}{2}. ] Racjonalizując odwrotność, dostajemy [ \frac1a=-\frac2{\sqrt3+5\sqrt2} =-\frac{2(5\sqrt2-\sqrt3)}{50-3} =\frac{2\sqrt3-10\sqrt2}{47}. ]

Z jedynki trygonometrycznej (\cos\alpha=\pm\sqrt{1-1/25}=\pm\frac{2\sqrt6}{5}). Zatem [ a=\operatorname{tg}\alpha=\frac{1/5}{\pm2\sqrt6/5} =\pm\frac{\sqrt6}{12}. ]

Mamy (\cos\alpha=\pm\frac{2\sqrt2}{3}), więc [ a=\operatorname{tg}\alpha=\frac{1/3}{\pm2\sqrt2/3} =\pm\frac{\sqrt2}{4}. ]

Kąty nachylenia prostych spełniają (\operatorname{tg}\alpha_1=-1) i (\operatorname{tg}\alpha_2=\frac{\sqrt3}{3}). Możemy więc przyjąć (\alpha_1=135^\circ), (\alpha_2=30^\circ). Różnica wynosi (105^\circ), zatem proste przecinają się pod takim kątem.