MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 106

Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika: [ \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}=2. ] Zatem (2\sin\alpha\cos\alpha=1).

Po rozwinięciu kwadratów wyrazy mieszane redukują się: [ (\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2 =2\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha=2. ]

Dla kąta ostrego sinus i cosinus są niezerowe. Korzystając z (\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}), otrzymujemy [ \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac1{\sin\alpha} =\frac1{\cos\alpha}. ]

Prawą stronę zapisujemy przez sinus i cosinus: [ \frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha} =\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha. ]