MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 103

Skan ustala położenie wysokości $CE=13$. W trójkącie prostokątnym $BCE$ mamy $BC=13/\sin50^\circ$ i $BE=13/\tan50^\circ$. Ponieważ $AD=DC=15$, rzut poziomy ramienia $AD$ ma długość $\sqrt{15^2-13^2}=2\sqrt{14}$. Zatem $AB=2\sqrt{14}+15+13\cot50^\circ.$ Drugi kąt ostry spełnia $\sin\alpha=13/15$.

Krótsza przekątna jest bokiem wspólnym trójkąta prostokątnego i równobocznego. Trójkąt równoboczny ma bok równy dłuższej podstawie $6$. Jego wysokość wynosi $3\sqrt3$ i jest wysokością trapezu, a krótsza podstawa jest równa połowie dłuższej, czyli $3$. Obwód to $6+6+3+3\sqrt3$.

Rzut krótszej przekątnej graniastosłupa na podstawę jest krótszą przekątną sześciokąta długości $a\sqrt3$. Jeśli $h$ jest wysokością, to $\cot\alpha=h/(a\sqrt3)=2/3$. Przyjmijmy więc $h=2t$, $a\sqrt3=3t$. Z długości przekątnej $13$ mamy $13^2=(2t)^2+(3t)^2$, zatem $t=\sqrt{13}$, $h=2\sqrt{13}$ i $a=\sqrt{39}$. Graniastosłup ma $12$ krawędzi podstaw i $6$ bocznych.