MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 84

Każde wyrażenie jest wielokrotnością lub ułamkiem wyrażenia $6x+9y=12$: odpowiednio dziesięciokrotnością, dwukrotnością, jedną trzecią i jedną szóstą.

a) $x^2+2xy=x(x+2y)=17{,}5(17{,}5+12{,}5) =17{,}5\cdot30$.

b) $2x^2-3xy=x(2x-3y)=14(28-18)=14\cdot10$.

I: $(a+1)(ax+x)=x(a+1)^2$.

II: $\frac12(2a^2+6a)x=ax(a+3)$.

III: $\frac{x+ax}{2}\cdot2x=x^2(a+1)$.

Liczby kulek w pudełkach to $x,x+1,\ldots,x+6$. Ich suma wynosi $7x+(1+2+3+4+5+6)=7x+21=7(x+3).$

a) Dla liczb $n,n+1,\ldots,n+4$ suma wynosi $5n+10=5(n+2)$.

b) Trzy kolejne parzyste to $2n,2n+2,2n+4$; ich suma to $6n+6=6(n+1)$.

c) Trzy kolejne nieparzyste to $2n+1,2n+3,2n+5$; suma jest równa $6n+9=3(2n+3)$.

Niech liczby mają postać $3m$ i $3n$. Wtedy suma ich kwadratów to $(3m)^2+(3n)^2=9(m^2+n^2),$ czyli jest podzielna przez $9$.

Liczbę o cyfrach $a,b$ zapisujemy jako $10a+b$, a liczbę z przestawionymi cyframi jako $10b+a$. Ich suma wynosi $(10a+b)+(10b+a)=11(a+b),$ więc jest podzielna przez $11$.