MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 289

W kwadracie $\angle EBC=\angle FCD=90^\circ$ oraz $BC=CD$. Ponieważ $BC\perp CD$ i $CE\perp DF$, kąty utworzone przez pary prostych prostopadłych są równe: $\angle BCE=\angle CDF$. Trójkąty mają zatem równy bok i oba kąty przy nim.

Pole mniejszego rombu wynosi $6\cdot10/2=30$. Stosunek pól to $270/30=9$, więc skala długości większego rombu wynosi $3$. Bok mniejszego rombu ma $\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$.

Kąt wewnętrzny foremnego $n$-kąta ma miarę $(n-2)180^\circ/n$. Dla $n=12$ otrzymujemy $10\cdot180^\circ/12$.

W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest odległy od wszystkich wierzchołków o połowę przeciwprostokątnej, więc środkowa z kąta prostego ma długość $3$. Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku $2:1$ od wierzchołka.

Trójkąty $PCD$ i $PAB$ są podobne w skali $CD:AB=5:8$. Jeśli $PD=x$, to $PA=x+12$ i $(x+12)/x=8/5$, skąd $PD=20$, $PA=32$. Analogicznie $(PC+9)/PC=8/5$, więc $PC=15$, $PB=24$.

Równoległobok $EBCF$ ma boki $EB$ i $BC=b$. Ponieważ jest podobny do $ABCD$, przy obróconej odpowiedniości zachodzi $EB/b=b/a$, stąd $EB=b^2/a$. Zatem $AE=DF=a-b^2/a$, a $EF=AD=b$.

Niech $m_a$ będzie środkową do boku $a$. W dwóch trójkątach utworzonych przez tę środkową nierówności trójkąta dają $m_a<c+a/2$ oraz $m_a<b+a/2$. Po dodaniu $2m_a<a+b+c=L$, więc $m_a<L/2$. Tak samo dla dwóch pozostałych środkowych.

Po opuszczeniu wysokości z wierzchołka otrzymujemy trójkąty $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ o przeciwprostokątnej $6$. Wysokość ma $3$, a połowa podstawy $3\sqrt3$. Przyjmijmy podstawę na osi: jej końce $(-3\sqrt3,0),(3\sqrt3,0)$, a wierzchołek $(0,3)$. Wysokości przecinają się w $H=(0,9)$.

Przyjmijmy $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $D=(0,4)$, $C=(2,4)$. Przekątne trapezu dzielą się w stosunku podstaw $AB:CD=3:1$. Zatem $AO=\frac34AC=\frac34\cdot2\sqrt5=\frac32\sqrt5$, a $BO=\frac34BD=\frac34\cdot2\sqrt{13}=\frac32\sqrt{13}$.