MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 229

a) $a_{AB}=a_{DC}=3/8$, więc czworokąt jest trapezem. Żaden z pozostałych boków nie ma nachylenia $-8/3$, dlatego nie jest prostokątny. b) $a_{AB}=a_{DC}=1/3$, a $a_{AD}=-3$; bok $AD$ jest prostopadły do obu podstaw.

a) Nachylenia kolejnych boków to $-3/2,2/3,-3/2,2/3$. b) Są to $-3/7,7/3,-3/7,7/3$. W obu przypadkach boki przeciwległe są równoległe, a sąsiednie współczynniki mają iloczyn $-1$.

Przekątna $AC$ ma współczynnik $4$, a prosta zawierająca $BD$ ma współczynnik $-1/4$, więc przekątne są prostopadłe. Ich wspólny środek $(1,4)$ leży na obu prostych. Prostokąt o prostopadłych przekątnych jest kwadratem. Długość przekątnej to $2\sqrt{17}$, zatem bok ma długość $\sqrt{34}$.

a) Przeciwprostokątna $AB$ leży na $y=3x+10$. Bok $AC$ jest prostopadły do $BC$, którego nachylenie wynosi $1/2$, więc $AC$ ma nachylenie $-2$ i równanie $y=-2x+5$. Przecięcie daje $A(-1,7)$. b) $AB$ leży na $x=-5$. Podana wysokość przechodzi przez $A$ i ma nachylenie $-3$, więc $BC$ ma nachylenie $1/3$; przecięcie z $x=-5$ daje $B(-5,-6)$.

Prosta przez $(-6,0)$ i $(2,4)$ ma nachylenie $1/2$, więc $l_1:y=x/2+3$. Prostopadła przez $(2,4)$ ma równanie $l_2:y=-2x+8$. Trójkąt przy osi $OX$ ma pole $20$, a przy osi $OY$ pole $5$. Wzrost wynosi $(20-5)/5\cdot100\%=300\%$.

Stosujemy warunek $A_1A_2+B_1B_2=0$. a) $3\cdot(2/3)+(-4)\cdot(1/2)=0$. b) $4\cdot(3/4)+6\cdot(-2/3)=-1\ne0$.

Dla równań ogólnych zerujemy iloczyn skalarny wektorów normalnych. a) $1\cdot0{,}1+m(-0{,}02)=0$, więc $m=5$. b) $4(4m^2-4)+(-9)(-m^2)=0$, czyli $25m^2-16=0$.