MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 181

Wykres $y=x^2$ przesuwamy poziomo. W każdym przypadku otrzymujemy parabolę skierowaną ramionami w górę, a jej wierzchołek jest zarazem jedynym miejscem zerowym:

a) $[1,0]$, wierzchołek $(1,0)$; b) $[-1,0]$, wierzchołek $(-1,0)$; c) $[-2,0]$, wierzchołek $(-2,0)$.

W przykładzie 3 wykres funkcji $f$ ma dziedzinę $\langle-4;4\rangle$. Zastąpienie $x$ przez $x-p$ przesuwa każdy punkt wykresu o $p$ jednostek w prawo, a zastąpienie przez $x+p$ — o $p$ jednostek w lewo.

a) Przesuwamy wykres o $2$ w prawo, więc $D_g=\langle-2;6\rangle$.

b) Przesuwamy wykres o $3$ w lewo, więc $D_g=\langle-7;1\rangle$.

c) Przesuwamy wykres o $4$ w lewo, więc $D_g=\langle-8;0\rangle$.

Wykres $f(x)=|2x|$ ma wierzchołek $(0,0)$ i ramiona o nachyleniu $\pm2$. Po przesunięciu:

a) $g(x)=2|x-3|$ ma wierzchołek $(3,0)$; b) $g(x)=2|x-2|$ ma wierzchołek $(2,0)$; c) $g(x)=2|x+3|$ ma wierzchołek $(-3,0)$.

Te wierzchołki wraz z zachowaniem nachyleń jednoznacznie wyznaczają szkice.

Wykres źródłowy jest łamaną o wierzchołkach $(-4,3),(-2,-1),(0,1),(3,-2)$. Przy przesunięciu poziomym dodajemy tę samą liczbę do pierwszej współrzędnej każdego wierzchołka:

a) o $2$ w prawo: $(-2,3),(0,-1),(2,1),(5,-2)$; b) o $3$ w prawo: $(-1,3),(1,-1),(3,1),(6,-2)$; c) o $1$ w lewo: $(-5,3),(-3,-1),(-1,1),(2,-2)$; d) o $2$ w lewo: $(-6,3),(-4,-1),(-2,1),(1,-2)$.

Jeśli $u=x-3$, to w a) $g(x)=u^3-4u$, więc $u\in\{-2,0,2\}$. Stąd $x=u+3\in\{1,3,5\}$.

W b) przyjmujemy $u=x+5$. Ponownie $u\in\{-2,0,2\}$, zatem $x=u-5\in\{-7,-5,-3\}$.

Wartość bezwzględna jest równa zeru dokładnie wtedy, gdy jej wnętrze jest zerem.

a) $3\cdot\frac12+a=0$, więc $a=-\frac32$. Wtedy $f(x)=|3x-\frac32|=3|x-\frac12|$.

b) $\frac12(-4)+a=0$, więc $a=2$. Wtedy $f(x)=|\frac12x+2|=\frac12|x+4|$.

Szkice są wykresami w kształcie V z wierzchołkami odpowiednio $(\frac12,0)$ oraz $(-4,0)$.