MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 176

Dla każdej krzywej zaznaczamy miejsca przecięcia lub styczności z osią i odczytujemy fragmenty nad osią.

a) Zera $-2,0,3$; dodatnia na $[-4,-2)\cup(-2,0)\cup(3,4]$. b) Zera $-4,-2,2,3$; dodatnia na $(-4,-2)\cup(2,3)$. c) Zera $-4,-2,0,2,4$; dodatnia na $(-4,-2)\cup(-2,0)$.

Rozwiązujemy równanie i nierówność na każdej części wzoru.

a) $f(x)=1$ tylko dla $x=-1$; $f(x)\ge1$ dla $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$.

b) $f(x)=1$ dla $x<-4$ oraz $x=-1,1$; $f(x)\ge1$ dla $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$.

c) $f(x)=1$ dla $x\le-2$ oraz $x=\pm\frac12$; $f(x)\ge1$ dla $(-\infty,-\frac12]\cup[\frac12,\infty)$.

d) $f(x)=1$ dla $x=\pm\frac12$ oraz $x>1$; $f(x)\ge1$ dla $[-2,-\frac12]\cup[\frac12,\infty)$.

Równość $x^3=x$ ma postać $x(x-1)(x+1)=0$, więc jej pierwiastki to $-1,0,1$. Z tabeli znaków iloczynu otrzymujemy $x^3<x$ na $(-\infty,-1)\cup(0,1)$; pozostałe argumenty wraz z miejscami równości spełniają $x^3\ge x$.

a) Niech $t=|x|\ge0$. Równanie ma postać $t^2=2t$, więc $t=0$ lub $t=2$. Nierówność $t^2<2t$ daje $0<t<2$.

b) Przenosimy wszystko na jedną stronę: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. Równość zachodzi dla $-2,1$, a iloczyn jest nieujemny poza przedziałem między pierwiastkami.