MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 169

Przedziały wyznaczają wierzchołki łamanych oraz odcinki poziome. Końce domeny są wyłączone, a punkty zwrotne można włączyć do obu sąsiednich przedziałów monotoniczności.

Idąc od lewej, wykres rośnie do $x=-4$, jest stały do $x=-2$, maleje do $x=2$, rośnie do $x=3$ i ponownie jest stały. Z tego bezpośrednio sprawdzamy trzy podane zdania.

Wystarczy zbudować łamane o zadanym kierunku.

a) Można przyjąć $f(x)=x+5$ na $(-5,-1]$, $f(x)=-x+3$ na $[-1,3]$ i $f(x)=x-3$ na $[3,6)$.

b) Można przyjąć $f(x)=-x$ na $(-5,0]$, $f(x)=0$ na $[0,4]$, $f(x)=x-4$ na $[4,5]$ oraz $f(x)=6-x$ na $[5,6)$.

a) Kierunek zmienia się w $x=-2$ i $x=2$, więc funkcja nie może być monotoniczna na całej dziedzinie.

b) Oba fragmenty rosną, lecz przy $x=-1$ występuje skok w dół: $f(-1)$ z lewego fragmentu jest większe od wartości tuż na prawo. To wyklucza monotoniczność globalną.

Niech $x_1<x_2$ w odpowiedniej dziedzinie.

a) $f(x_2)-f(x_1)=6(x_2-x_1)(x_2+x_1)<0$, bo pierwszy czynnik jest dodatni, a drugi ujemny. Funkcja maleje.

b) $f(x_2)-f(x_1)=\frac{3(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1^2x_2^2}>0$, bo oba czynniki w liczniku są ujemne. Funkcja rośnie.

c) $f(x_2)-f(x_1)=-8(x_2-x_1)(x_2+x_1)<0$ dla dodatnich argumentów. Funkcja maleje.