MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 124

Po usunięciu mianowników rozwiązujemy układy. a) $(x,y)=(-3,4)$, więc obie liczby są całkowite. b) $y=19/46$ i $x=99/23$. c) $(x,y)=(2/11,29/11)$. d) $(x,y)=(27/4,-37/8)$. W trzech ostatnich przypadkach co najmniej jedna współrzędna nie jest całkowita.

Sprowadzamy każdą parę równań do postaci liniowej. a) Dostajemy równania $5x-12y=1$ oraz $5x-12y=8$, więc brak rozwiązań. b) Współczynniki nie są proporcjonalne, więc jest jedna para. c) Także otrzymujemy dwie przecinające się proste. d) Równania mają tę samą lewą stronę, lecz różne prawe strony.

Po rozwinięciu iloczynów wyrazy kwadratowe się redukują. a) Powstaje układ $3x+2y=7$, $x-2y=-3$. b) Skan png/124.png potwierdza zapis $\sqrt2\,x$, więc iloczyn po prawej to $y^2-2x^2$; równania upraszczają się do $x-y=3$ i $2x+y=-7$.

a) Drugie równanie po rozwinięciu ma postać $2x+3y=7$, identyczną z pierwszym. b) Otrzymujemy jednocześnie $4x-y=2$ i $4x-y=4$. c) Oba równania są równoważne równości $2y-x=8$.

Aby otrzymać układ sprzeczny, wybieramy równanie o proporcjonalnej lewej stronie i innej prawej; dla nieoznaczonego — równanie równoważne; dla oznaczonego — równanie nieproporcjonalne.

Badamy proporcjonalność współczynników po podstawieniu trzech wartości $m$. Gdy wyznacznik jest niezerowy, układ jest oznaczony; przy wyznaczniku zerowym porównujemy także prawe strony.

Z drugiego równania mamy $x^2=y^2$. Po dodaniu równań dostajemy $2x^2=8$, więc $x=\pm2$; wtedy również $y=\pm2$, a znaki można wybierać niezależnie.