MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 99

Porównujemy liczby pod modułami.

a) Mamy $6<\sqrt{43}<5\sqrt2=\sqrt{50}<8$, zatem

$$(\sqrt{43}-6)+(5\sqrt2-\sqrt{43})+(8-5\sqrt2)=2.$$

b)

$$|\sqrt2-\sqrt3|\cdot|\sqrt2+\sqrt3| =(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1.$$

c)

$$\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3} =\frac{(\sqrt5-\sqrt3)^2}{2}=4-\sqrt{15}.$$

d)

$$\left|\frac{2\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt3}\right| =\frac{2\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2} =(2\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=4+\sqrt6.$$

Oznaczmy $t=|x|\ge0$.

a) $t=\frac12t+2$, więc $t=4$ i $x=\pm4$.

b) $2t=t+\frac23$, więc $t=\frac23$ i $x=\pm\frac23$.

c) $\frac14t=\frac13t-4$, więc $\frac1{12}t=4$, czyli $t=48$ i $x=\pm48$.

Z definicji logarytmu wyznaczamy najpierw $|x|$.

a) $|x|=5^2=25$, zatem $x=\pm25$. b) $|x|=(0{,}1)^{-1}=10$, zatem $x=\pm10$. c) $|x|=(\sqrt2)^0=1$, zatem $x=\pm1$.

Kwadrat jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jego podstawa jest zerem.

a) $|x|-7=0$, więc $x=\pm7$.

b) $1+|x|=0$ nie ma rozwiązań, bo $1+|x|\ge1$.

c) Iloczyn jest zerem, gdy $|x|=1$ albo $|x|=-2$. Drugi warunek jest niemożliwy, a pierwszy daje $x=\pm1$.

Korzystamy z tożsamości $\sqrt{x^2}=|x|$.

a) $|x|=x$ zachodzi dla $x\ge0$. b) $|x|=-x$ zachodzi dla $x\le0$. c) Jest to tożsamość prawdziwa dla każdego $x\in\mathbb R$. d) Prawa strona istnieje tylko dla $x\ge0$ i wtedy jest równa $x$.

Ponieważ $x^2\ge0$, mamy $|x^2|=x^2$.

a) $x^2=x$, czyli $x(x-1)=0$. b) $x^2=-x$, czyli $x(x+1)=0$. c) Dla $x\ge0$ rozwiązujemy $x=x^2$, a dla $x<0$: $-x=x^2$. Łącznie otrzymujemy $-1,0,1$. d) Obie strony mają przeciwne znaki, więc muszą być równe zeru.

a) Rozpoznajemy kwadraty:

$$3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2,\qquad 6-4\sqrt2=(2-\sqrt2)^2.$$

Suma pierwiastków wynosi $(\sqrt2-1)+(2-\sqrt2)=1$.

b) Podobnie

$$7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2,\qquad 4+2\sqrt3=(1+\sqrt3)^2.$$

Różnica pierwiastków wynosi $(2+\sqrt3)-(1+\sqrt3)=1$.

a) $A$ jest pionowym pasem $-2\le x\le2$, a $B$ poziomym pasem $-3\le y\le3$. Ich część wspólna to domknięty prostokąt $[-2,2]\times[-3,3]$.

b) $A$ opisuje $x<-3$ lub $x>3$, a $B$ opisuje $y\le-2$ lub $y\ge2$. Część wspólna to cztery narożne obszary.

c) Po przecięciu wnętrza prostokąta $|x|<2$, $|y|<4$ z warunkami $|x|>1$, $|y|>2$ zostają cztery otwarte prostokąty: $1<|x|<2$ i $2<|y|<4$.

Rozpatrujemy znaki $x$.

a) Dla $x\ge0$ mamy równość $|x|=x$, a dla $x<0$ mamy $|x|>x$. Brak rozwiązań.

b) Warunek $|x|\le x$ zachodzi dokładnie dla $x\ge0$.

c) Dla $x>0$ zachodzi $x>-x$; dla $x\le0$ nierówność jest fałszywa.

d) Zawsze $|x|\ge-x$, więc brak rozwiązań.