MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 98

Mianownik musi być różny od zera.

a) $|x|-5\ne0$, więc $x\ne\pm5$.

b) $|x|+7>0$ dla każdego $x$.

c) $|x|+x=2x$ dla $x>0$, a dla $x\le0$ jest równe $0$.

d) $|x|-x=-2x$ dla $x<0$, a dla $x\ge0$ jest równe $0$.

Po podniesieniu obu stron do kwadratu sprowadzamy równania do postaci $|x|=c$.

a) $|x|=9$; b) $|x|=\frac14$; c) $|x|=0$; d) $\sqrt{|x^2|}=|x|=\frac34$; e) $|x|-1=81$, więc $|x|=82$; f) $2|x|+3=49$, więc $|x|=23$.

Sprowadzamy każde równanie do warunku na $|x|$.

a) $|x|^2=16$, więc $|x|=4$.

b) $|x|^3=\frac18$, więc $|x|=\frac12$.

c) $\frac1{|x|}=\frac15$, więc $|x|=5$.

d) $\frac1{|x|^2}=\frac1{100}$, więc $|x|=10$.

Wartość $|x|$ jest odległością liczby $x$ od zera.

a) $|x|\le5$, więc $-5\le x\le5$.

b) $1<|x|\le5$, więc otrzymujemy dwa przedziały po obu stronach zera.

c) $2\le|x|\le8$, ponownie otrzymujemy dwa domknięte przedziały.

d) $|x|>3$, więc wybieramy liczby leżące dalej niż $3$ od zera.

Mamy $|x|^2=x^2$. Oznaczmy $t=|x|\ge0$.

a) $(t-3)^2=0$, więc $t=3$.

b) $(2t-1)^2=0$, więc $t=\frac12$.

c) $(3t-2)^2=0$, więc $t=\frac23$.

a) $A=\langle-5;5\rangle$, a $B=(-\infty;-4\rangle\cup\langle4;\infty)$. Zatem $A\cap B=\langle-5;-4\rangle\cup\langle4;5\rangle.$

b) $A=(-7;7)$, a $B=(-\infty;-3\rangle\cup\langle3;\infty)$. Zatem $A\cap B=(-7;-3\rangle\cup\langle3;7).$

Sprowadzamy nierówności do warunków na $|x|$.

a) $6-2|x|\ge0$, więc $|x|\le3$.

b) $2(1-|x|)<4$, czyli $|x|>-1$; warunek spełnia każde $x$.

c) $(2|x|-1)^2\le0$. Kwadrat może być nie większy od zera tylko wtedy, gdy jest zerem, więc $|x|=\frac12$.

d) Analogicznie $|x|=\frac32$.

Oznaczamy $t=|x|\ge0$.

a) $t-4\le\frac{t-1}{2}\iff t\le7.$

b) $\frac{2-3t}{4}\ge\frac t2\iff2\ge5t\iff t\le\frac25.$

c)

\iff5+5t\le12\iff t\le\frac75.$$

Korzystamy z $\sqrt{x^2}=|x|$ oraz $\sqrt{(-x)^2}=|x|$.

a) $|x|=14$.

b) $|x|<1$.

c) $|x|\ge2$.

d) $3\le|x|<7$.