MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 100

Odległość punktów o współrzędnych $a,b$ jest równa $|a-b|$.

a) $|7-3|=4$. b) $|-1-3|=4$. c) $|(1+\sqrt3)-(1-\sqrt3)|=2\sqrt3$. d) $|(2+\sqrt5)-(-3\sqrt5)|=2+4\sqrt5$.

Odległość liczby $x$ od $4$ jest równa $|x-4|$. Odpowiednio zachowujemy znak równości lub nierówności z polecenia:

$$|x-4|=2,\quad |x-4|<3,\quad |x-4|>5,$$ $$|x-4|\le2,\quad |x-4|\ge1,\quad |x-4|\ge4.$$

Na osi są to punkty lub obszary symetryczne względem liczby $4$.

Stosujemy równoważność $|u|=r\iff u=\pm r$ dla $r\ge0$.

a) $x-1=0$, więc $x=1$. b) $x-3=\pm5$, więc $x=-2$ lub $x=8$. c) $x+4=\pm2$, więc $x=-6$ lub $x=-2$. d) $x-\sqrt2=\pm3$, więc $x=\sqrt2-3$ lub $x=\sqrt2+3$. e) $4-x=\pm3$, więc $x=1$ lub $x=7$. f) $|x+2|=2$, więc $x=-4$ lub $x=0$.

Ustalamy znaki wyrażeń pod modułami z podanego warunku.

a) Dla $x\ge0$ mamy $|x|=x$, więc wynik to $0$.

b) Dla $x<-5$: $|x|=-x$, $|x+5|=-x-5$, $|x-2|=2-x$. Po podstawieniu otrzymujemy $7-x$.

c) Dla $-6<x<0$: $|x|=-x$, $|x-3|=3-x$, $|x+6|=x+6$. Wynik to $3$.

d) Dla $x<-1$: $|x+1|=-x-1$, $\frac{x}{|x|}=-1$, $|x-1|=1-x$. Wynik to $-3$.

e) Dla $0<x<1$ mamy $||1-x|-1|=x$ oraz $|x-2|=2-x$. Wynik to $3x-4$.

f) Iloraz $\frac{x-1}{1-x}=-1$, a $|2-3x|=2-3x$. Wynik to $3x-1$.

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$ i z podanych założeń.

a) $|x-3|=x-3$, bo $x>3$. b) $|a+2|=-a-2$, bo $a<-2$. c) $\sqrt{(a-5)^2}=a-5$, bo $a\ge5$. d) $x+\sqrt{(x-2)^2}=x+|x-2|=x+(2-x)=2$.