MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 97

Warunki na $x^2$ zapisujemy jako warunki na $|x|$, a potem wybieramy liczby całkowite.

a) $4\le|x|<8$.

b) $1\le|x|<5$.

c) $3\le|x|<5$.

d) $\sqrt{66}<|x|<\sqrt{77}$, czyli $8{,}12\ldots<|x|<8{,}77\ldots$; nie ma takiej liczby całkowitej.

Do każdego wyrażenia podstawiamy kolejno $x=-2,0,\frac12,4$ i obliczamy wartości liczników oraz mianowników. Otrzymujemy:

a) $\frac13,-1,-1,1$;

b) $-\frac13,1,3,-1$;

c) $3,1,1,1$;

d) $\frac14,\frac32,4,\frac12$.

a) Po podstawieniu podanych trójek porównania lewej i prawej strony są kolejno $4\le6,qquad4\le8,qquad6\le6,qquad9\le9.$

b) Przykładowe dalsze trójki: $(0,0,0)$ daje $0\le0$, $(1,4,2)$ daje $3\le1+2$, a $(-2,3,0)$ daje $5\le2+3$.

a) Po podstawieniu podanych par porównania lewej i prawej strony są kolejno $2\ge2,qquad12\ge2,qquad2\ge2,qquad9\ge9.$

b) Przykładowe dalsze pary: $(0,0)$ daje $0\ge0$, $(2,-3)$ daje $5\ge1$, a $(-4,-1)$ daje $3\ge3$.

Korzystamy z podanych założeń o znakach.

a) Dla $x\le0$ mamy $|x|=-x$, więc wynik to $0$.

b) Dla $x\le0$ otrzymujemy $-3x$.

c) Z $x<y$ wynika $x-y<0$, więc $|x-y|=y-x$.

d) Z $0<x<y$ wynika $x^2-y^2<0$, więc $|x^2-y^2|=y^2-x^2$.

a) $|1-\sqrt2|=\sqrt2-1$, więc zewnętrzny moduł daje $2-\sqrt2$.

b) Ponieważ $\sqrt5-\sqrt3-1<0$, wynik to $\sqrt3+1-\sqrt5$.

c) Oba moduły mają tę samą wartość, więc różnica wynosi $0$.

d) $1{,}7(3)=\frac{26}{15}>\sqrt3$, bo $\frac{676}{225}>3$. Wynik to $1{,}7(3)-\sqrt3$.