MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 96

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej i porównujemy dodatnie liczby.

a) $|-\frac43|=\frac43$; b) $|5{,}7|=5{,}7$; c) $|6-9|=3$; d) $8-5=3$; e) $|-2+\frac23|=\frac43$; f) $|-8300-1700|=10\,000$.

g) $1-\sqrt3<0$, więc $|1-\sqrt3|=\sqrt3-1$.

h) $\sqrt3>\sqrt2$, więc $|\sqrt3-\sqrt2|=\sqrt3-\sqrt2$.

i) $\sqrt[3]5<\sqrt3$, zatem wynik to $\sqrt3-\sqrt[3]5$.

j) $2\pi>6{,}28$, zatem wynik to $2\pi-6{,}28$.

Ustalamy znaki wyrażeń pod wartością bezwzględną.

a) $3-\sqrt3+\sqrt3=3$.

b) $\sqrt5-(\sqrt5-1)=1$.

c) $(\sqrt7-1)-\sqrt7=-1$.

d) $\sqrt2-\sqrt2=0$.

a) Ponieważ $4<2\sqrt5<5$, oba wyrażenia pod modułami są dodatnie:

$$|2\sqrt5-4|+|5-2\sqrt5|=(2\sqrt5-4)+(5-2\sqrt5)=1.$$

b) Ponieważ $3<\sqrt{15}<4$,

$$|4-\sqrt{15}|-|\sqrt{15}-3| =(4-\sqrt{15})-(\sqrt{15}-3)=7-2\sqrt{15}.$$

Obliczamy wartości liczb:

$$a=8-|1-3|=6,qquad b=|-6-2|=8,$$ $$c=10-|4-3|=9,qquad d=9-|7-3|=5.$$

Stąd $5<6<8<9$.

Każde równanie sprowadzamy do postaci $|x|=c$. Dla $c<0$ nie ma rozwiązań, dla $c=0$ jest jedno rozwiązanie, a dla $c>0$ są dwa.

Otrzymujemy kolejno

$$|x|=9, -2, 0, \sqrt2, 4, \frac32, -4, -4.$$

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$ i ustalamy znak wyrażenia $u$.

a) $|1-\sqrt2|=\sqrt2-1$.

b) $|-1-\sqrt3|=1+\sqrt3$.

c) $|\sqrt5-3|=3-\sqrt5$.

d) $|3-2\sqrt5|=2\sqrt5-3$.

e) $|3-\pi|=\pi-3$.

f) $|6-2\pi|=2\pi-6$.

Bez założeń o znaku nie wolno opuszczać wartości bezwzględnej, ponieważ $\sqrt{u^2}=|u|$.

a) $\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$.

b) $\sqrt{(x/y)^2}=|x/y|$.

c) $\sqrt{(3x)^2}=|3x|$.

d) $\sqrt{(x+5)^2}+\sqrt{x^2}=|x+5|+|x|$.

Sprowadzamy warunki kolejno do

$$|x|<4,quad |x|<3{,}5,quad |x|<2{,}5,quad |x|<4,quad |x|\le1,quad |x|<\sqrt8.$$

Następnie wybieramy tylko liczby całkowite.