MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 95

a) Niech $A=5-2\sqrt6$, $B=5+2\sqrt6$. Ponieważ $AB=1$,

$$\frac AB+\frac BA=\frac{A^2+B^2}{AB}=(A+B)^2-2AB=98.$$

b) Dla $A=\sqrt7-\sqrt5$, $B=\sqrt7+\sqrt5$ mamy $AB=2$ oraz $A^2+B^2=24$, więc suma ilorazów wynosi $12$.

c) Każdy składnik zapisujemy jako

$$\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-2}}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n-2}}2.$$

Suma teleskopowa redukuje się do $\frac{3-1}{2}=1$.

d) Analogicznie pozostaje $\frac{10-\sqrt2}{2}=5-\frac{\sqrt2}{2}.$

Przekształcamy wyrażenie do postaci kwadratu:

$$(3a-2)(3a+2)+b^2-6ab =9a^2-4+b^2-6ab=(3a-b)^2-4.$$

Kwadrat jest nieujemny, więc najmniejszą wartością jest $-4$. Osiągamy ją dla $b=3a$.

Upraszczamy:

$$4a(3b-a)-(3b-2)(3b+2) =12ab-4a^2-9b^2+4=4-(2a-3b)^2.$$

Ponieważ kwadrat jest nieujemny, wyrażenie jest nie większe od $4$. Wartość $4$ osiąga dla $2a=3b$.

Upraszczamy obie strony.

a) Lewa strona daje $12x-15=3(4x-5)$.

b) $\frac14(6-2x)(2x+6)=(3-x)(x+3).$

c) Różnica kwadratów daje

$$\left[\left(\frac32x+\frac12\right)- \left(\frac12x+\frac32\right)\right] \left[\left(\frac32x+\frac12\right)+ \left(\frac12x+\frac32\right)\right] =2(x-1)(x+1).$$

d) Lewa strona redukuje się do $x^2+2\sqrt2x+2=(x+\sqrt2)^2$.

Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólny czynnik:

$$a(a-b)-b(a-b)=(a-b)^2\ge0.$$

Lewa strona podanej nierówności jest więc zawsze nie mniejsza od prawej.

Różnica lewej i prawej strony wynosi

$$a^2+b^2-2(a+b-1) =(a-1)^2+(b-1)^2\ge0.$$

To dowodzi nierówności.

Z założenia

$$(a+b)^2=a^2+b^2$$

wynika po rozwinięciu $2ab=0$, czyli $ab=0$. Iloczyn dwóch liczb jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

Jeśli $n=2k$, to $n^2=4k^2$, więc reszta z dzielenia przez $4$ wynosi $0$. Jeśli $n=2k+1$, to

$$n^2=4k(k+1)+1,$$

więc reszta wynosi $1$. Każda liczba całkowita jest parzysta albo nieparzysta, zatem innych reszt nie ma.

Grupujemy czynniki:

$$[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2].$$

Z $c^2=a^2+b^2$ każdy z nawiasów jest równy $2ab$, więc cały iloczyn wynosi $4a^2b^2$. Ponieważ pole trójkąta prostokątnego spełnia $\frac{ab}{2}=6$, mamy $ab=12$. Stąd $4a^2b^2=4\cdot12^2=576.$