MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 94

Sprowadzamy każdą lewą stronę do sumy kwadratów.

a)

$$x^2-xy+y^2=\left(x-\frac12y\right)^2+\frac34y^2\ge0.$$

b)

$$x^2-2xy+5y^2=(x-y)^2+4y^2\ge0.$$

c)

$$x^2+y^2+2-2(x+y)=(x-1)^2+(y-1)^2\ge0.$$

a)

$$?=n^3-(n-1)n(n+1)=n^3-n(n^2-1)=n.$$

b)

$$(a+b-c)(a-b+c)=a^2-(b-c)^2=a^2-b^2+2bc-c^2.$$

Ponieważ $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, brakująca część wynosi $2bc-c^2$.

Z definicji liczb $a,b$ mamy $a^2=\sqrt5+\sqrt3,\qquad b^2=\sqrt5-\sqrt3.$

a)

$$ab=\sqrt{(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)}=\sqrt2.$$

b)

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2\sqrt5+2\sqrt2.$$

c)

$$\frac1{a^2}+\frac1{b^2} =\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{2\sqrt5}{2}=\sqrt5.$$

a) Stosujemy różnicę kwadratów:

$$1615^2-1598^2=(1615-1598)(1615+1598)=17\cdot3213.$$

Liczba jest zatem podzielna przez $17$.

b)

$$254^4-235^4=(254-235)(254+235)(254^2+235^2).$$

Pierwszy czynnik jest równy $19$, więc całość jest podzielna przez $19$.

Niech dwie liczby dwucyfrowe mają postać $10a+b$ i $10c+d$. Różnica iloczynu tych liczb i iloczynu sum ich cyfr wynosi

$$(10a+b)(10c+d)-(a+b)(c+d).$$

Po rozwinięciu:

$$99ac+9ad+9bc=9(11ac+ad+bc).$$

Jest więc zawsze wielokrotnością $9$.

Upraszczamy wyrażenie:

$$x+(x+3)^2-(x+2)(x+4) =x+(x^2+6x+9)-(x^2+6x+8)=x+1.$$

Jeżeli $x$ jest parzyste, to $x+1$ jest nieparzyste. Jeżeli $x$ jest nieparzyste, to $x+1$ jest parzyste.

Dwie kolejne liczby naturalne podzielne przez $5$ mają postać $5n$ i $5(n+1)$. Suma ich kwadratów wynosi

$$25[n^2+(n+1)^2]=25(2n^2+2n+1)=50n(n+1)+25.$$

Jest więc podzielna przez $25$, a przy dzieleniu przez $50$ pozostawia resztę $25$.

Korzystamy z danych $ab=2$ i $a+b=5$.

a) $ab^2+a^2b=ab(a+b)=2\cdot5=10$.

b) $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-4=21$.

c) $a^2b^4+a^4b^2=(ab)^2(a^2+b^2)=4\cdot21=84.$

d) $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=21^2-8=433.$

Kolejne składniki lewej strony zapisujemy jako różnice kwadratów: $a^2-(b-c)^2,qquad b^2-(a-c)^2,qquad c^2-(a-b)^2.$ Ich suma po rozwinięciu wynosi

$$-a^2-b^2-c^2+2ab+2ac+2bc.$$

Rozwinięcie prawej strony daje dokładnie ten sam wielomian, zatem równość jest tożsamością.

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

a) $\frac{2\sqrt3(2-\sqrt6)}{4-6}=3\sqrt2-2\sqrt3$.

b) $\frac{2\sqrt2(2\sqrt2-1)}{8-1}=\frac{8-2\sqrt2}{7}$.

c) $\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}=3+2\sqrt2$.

d) $\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}=7+4\sqrt3$.

e) $\frac{(\sqrt7-\sqrt6)^2}{7-6}=13-2\sqrt{42}$.

f)

$$\frac{(\sqrt3+\sqrt2)(3\sqrt2+2\sqrt3)}{18-12} =2+\frac{5\sqrt6}{6}.$$