MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 93

Korzystamy dwukrotnie z różnicy kwadratów:

$$(3k-m)^2-(3m-k)^2 =[(3k-m)-(3m-k)][(3k-m)+(3m-k)].$$

Po uproszczeniu czynników dostajemy

$$(4k-4m)(2k+2m)=8(k-m)(k+m),$$

czyli prawą stronę równości.

W każdym ułamku mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

a)

$$\frac{3-2\sqrt6}{9-24}+\frac{3+2\sqrt6}{9-24} =-\frac25.$$

b)

$$\frac{2(\sqrt5-1)+2(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5.$$

c)

$$\frac{2(2-\sqrt7)+2(2+\sqrt7)}{4-7}=-\frac83.$$

d)

$$\frac{3(1-\sqrt3)}{1-3}- \frac{5(\sqrt3+1)}{3-1}=-\sqrt3-4.$$

Rozwijamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne.

a) $2x<16$, więc $x<8$.

b) $-5x+6\ge-3x-4$, więc $x\le5$.

c) $-x-6<x-6$, więc $x>0$.

d) $-4x>4x$, więc $x<0$.

e) Po redukcji zostaje kwadrat, który jest nieujemny dla każdego $x$.

f) $4-x^2\le-x^2-6x-8$, więc $x\le-2$.

Stosujemy różnicę kwadratów, a następnie redukujemy jednakowe składniki.

a) $4x^2-256\le4x^2-1$ jest prawdziwe dla każdego $x$.

b) $x^2-25\le x^2-\frac19$ jest prawdziwe dla każdego $x$.

c) $10x+40<10x-6$ prowadzi do sprzeczności $40<-6$.

d) $20x-8<20x-15$ prowadzi do sprzeczności $-8<-15$.

e) Po redukcji otrzymujemy $x<\frac49$.

f) Po redukcji otrzymujemy $x<-\frac14$.

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

a) $\frac{\sqrt7(\sqrt7+1)}{7-1}=\frac{7+\sqrt7}{6}$.

b) $\frac{\sqrt6(\sqrt6+1)}{6-1}=\frac{6+\sqrt6}{5}$.

c) $\frac{\sqrt5(3-\sqrt5)}{9-5}=\frac{3\sqrt5-5}{4}$.

d) $\frac{\sqrt3(5-\sqrt3)}{25-3}=\frac{5\sqrt3-3}{22}$.

e)

$$\frac{\sqrt{10}(\sqrt2+\sqrt5)}{2-5} =-\frac{2\sqrt5+5\sqrt2}{3}.$$

f)

$$\frac{\sqrt{15}(\sqrt3+\sqrt5)}{3-5} =-\frac{3\sqrt5+5\sqrt3}{2}.$$

a)

$$\frac2{\sqrt3-1}=\frac{2(\sqrt3+1)}{3-1}=\sqrt3+1,$$

więc wyrażenie w module jest równe $0$ i cały kwadrat ma wartość $0$.

b)

$$\frac4{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1,$$

więc również otrzymujemy $0$.

Korzystamy ze wzoru dwumianowego.

a)

$$(1+a)^4=1+4a+6a^2+4a^3+a^4.$$

b)

$$(1+a)^5=1+5a+10a^2+10a^3+5a^4+a^5.$$