MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 92

a)

$$\begin{aligned} (x-1)^2&=(x+1)(x-1),\\ x^2-2x+1&=x^2-1,\\ -2x&=-2, \end{aligned}$$

czyli $x=1$.

b)

$$\begin{aligned} (2x+1)^2&=4(x+2)(x-2),\\ 4x^2+4x+1&=4x^2-16,\\ 4x&=-17, \end{aligned}$$

zatem $x=-\frac{17}{4}$.

c) Lewą stronę zapisujemy jako różnicę kwadratów:

$$\begin{aligned} 9(1-2x)^2-4(3x-1)^2 &=[3(1-2x)-2(3x-1)]\\ &\quad\cdot[3(1-2x)+2(3x-1)]\\ &=(5-12x)\cdot1. \end{aligned}$$

Równanie $(5-12x)\cdot1=1$ daje $x=\frac13$.

d)

$$\begin{aligned} (3x-2)(3x+2)&=9\left(x-\frac13\right)^2,\\ 9x^2-4&=9x^2-6x+1,\\ 6x&=5, \end{aligned}$$

więc $x=\frac56$.

a) Mnożymy nierówność przez dodatnią liczbę $15$:

$$3(x-2)+45<5(x+2)-15.$$

Stąd $3x+39<5x-5$, więc $44<2x$, czyli $x>22$.

b)

$$x^2+3x+2\le x^2+11x+30$$

jest równoważne nierówności $-28\le8x$. Zatem $x\ge-\frac72$.

c)

$$(2-3x)^2\ge9x^2 \iff 4-12x+9x^2\ge9x^2 \iff x\le\frac13.$$

d) Po rozwinięciu kwadratów:

$$(3-2x)^2-4(1-x)^2=5-4x.$$

Warunek $5-4x<0$ daje $x>\frac54$.

e)

$$\begin{aligned} (1+4x)(4x-1)&\ge(1-4x)^2,\\ 16x^2-1&\ge16x^2-8x+1,\\ 8x&\ge2, \end{aligned}$$

czyli $x\ge\frac14$.

f) Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$\begin{aligned} (5x+3)^2-(4x+3)^2&>(3x+3)^2,\\ x(9x+6)&>9x^2+18x+9,\\ -12x&>9. \end{aligned}$$

Po podzieleniu przez liczbę ujemną otrzymujemy $x<-\frac34$.

W każdym podpunkcie mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone z mianownikiem.

a)

$$\frac1{\sqrt5+1}\cdot\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5-1} =\frac{\sqrt5-1}{5-1}=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

b)

$$\frac7{\sqrt8+1}\cdot\frac{\sqrt8-1}{\sqrt8-1} =\frac{7(\sqrt8-1)}{8-1}=2\sqrt2-1.$$

c)

$$\frac8{\sqrt6-2}\cdot\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6+2} =\frac{8(\sqrt6+2)}{6-4}=4(\sqrt6+2).$$

d)

$$\frac{\sqrt3}{\sqrt6-2}\cdot\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6+2} =\frac{\sqrt{18}+2\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt2+2\sqrt3}{2}.$$

e)

$$\frac{\sqrt8}{4+\sqrt2}\cdot\frac{4-\sqrt2}{4-\sqrt2} =\frac{2\sqrt2(4-\sqrt2)}{16-2} =\frac{4\sqrt2-2}{7}.$$

f)

$$\frac{4+\sqrt5}{4-\sqrt5}\cdot\frac{4+\sqrt5}{4+\sqrt5} =\frac{(4+\sqrt5)^2}{16-5} =\frac{21+8\sqrt5}{11}.$$

a)

$$(x+2)^2-x^2=x^2+4x+4-x^2=4x+4=4(x+1).$$

Lewa strona jest równa prawej dla każdego $x\in\mathbb R$.

b)

$$\begin{aligned} \left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 &=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\\ &=\frac{4ab}{4}=ab. \end{aligned}$$

Równość zachodzi dla wszystkich $a,b\in\mathbb R$.

c)

$$\begin{aligned} (k^2-m^2)^2+(2km)^2 &=k^4-2k^2m^2+m^4+4k^2m^2\\ &=k^4+2k^2m^2+m^4\\ &=(k^2+m^2)^2. \end{aligned}$$

Jest to tożsamość.

d) Rozwijamy prawą stronę:

$$\begin{aligned} (wy-xz)^2+(wz+xy)^2 ={}&w^2y^2-2wxyz+x^2z^2\\ &+w^2z^2+2wxyz+x^2y^2\\ ={}&w^2(y^2+z^2)+x^2(y^2+z^2)\\ ={}&(w^2+x^2)(y^2+z^2). \end{aligned}$$

Także ta równość jest zawsze prawdziwa.

Skoro $k<m<n$ są trzema kolejnymi dodatnimi liczbami naturalnymi, możemy zapisać

$$k=t,\qquad m=t+1,\qquad n=t+2$$

dla pewnej dodatniej liczby naturalnej $t$.

Lewa strona równości ma postać

$$n+mk=(t+2)+(t+1)t=t^2+2t+2.$$

Prawa strona jest równa

$$nm-k=(t+2)(t+1)-t=t^2+3t+2-t=t^2+2t+2.$$

Obie strony są więc równe dla każdego dopuszczalnego $t$.

a) Rozwijamy oba kwadraty:

$$\begin{aligned} \frac{(6x-2)^2+(2x+6)^2-40}{8} &=\frac{36x^2-24x+4+4x^2+24x+36-40}{8}\\ &=\frac{40x^2}{8}=5x^2. \end{aligned}$$

b) Najpierw upraszczamy licznik:

$$\begin{aligned} &(6-3x)^2-(3+6x)^2-3(3-3x)(3+4x)\\ ={}&(36-36x+9x^2)-(9+36x+36x^2)\\ &-3(9+3x-12x^2)\\ ={}&9x^2-81x. \end{aligned}$$

Zatem

$$\frac{9x^2-81x}{24}=\frac{3x^2-27x}{8}.$$