MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 91

a) Łączymy oba czynniki sprzężone przed podniesieniem do kwadratu:

$$\begin{aligned} (3\sqrt2-3)^2(3\sqrt2+3)^2 &=\left[(3\sqrt2-3)(3\sqrt2+3)\right]^2\\ &=\left[(3\sqrt2)^2-3^2\right]^2=(18-9)^2=81. \end{aligned}$$

b) Obie liczby pod pierwiastkami są dodatnie, zatem

$$\begin{aligned} \sqrt{2\sqrt7+\sqrt3}\sqrt{2\sqrt7-\sqrt3} &=\sqrt{(2\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2}\\ &=\sqrt{28-3}=5. \end{aligned}$$

c) Stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

$$\begin{aligned} (9+\sqrt{11})^2-(9-\sqrt{11})^2 &=\bigl[(9+\sqrt{11})-(9-\sqrt{11})\bigr]\\ &\quad\cdot\bigl[(9+\sqrt{11})+(9-\sqrt{11})\bigr]\\ &=2\sqrt{11}\cdot18=36\sqrt{11}. \end{aligned}$$

d) Rozwijamy kwadrat różnicy:

$$\begin{aligned} \left(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}\right)^2 &=2+\sqrt3+2-\sqrt3\\ &\quad-2\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\ &=4-2\sqrt{4-3}=2. \end{aligned}$$

W każdym podpunkcie zapisujemy liczbę pod pierwiastkiem jako kwadrat sumy dwóch dodatnich liczb.

a)

$$3+2\sqrt2=1^2+(\sqrt2)^2+2\cdot1\cdot\sqrt2=(1+\sqrt2)^2,$$

więc $\sqrt{3+2\sqrt2}=1+\sqrt2$.

b)

$$27+10\sqrt2=5^2+(\sqrt2)^2+2\cdot5\cdot\sqrt2=(5+\sqrt2)^2,$$

stąd $\sqrt{27+10\sqrt2}=5+\sqrt2$.

c)

$$39+12\sqrt3=6^2+(\sqrt3)^2+2\cdot6\cdot\sqrt3=(6+\sqrt3)^2,$$

zatem $\sqrt{39+12\sqrt3}=6+\sqrt3$.

d)

$$21+4\sqrt5=1^2+(2\sqrt5)^2+2\cdot1\cdot2\sqrt5=(1+2\sqrt5)^2,$$

czyli $\sqrt{21+4\sqrt5}=1+2\sqrt5$.

Na dolnym boku dużego kwadratu widać kolejno odcinki długości $x-4$, $8$ i $x-2$. Bok kwadratu ma więc długość

$$(x-4)+8+(x-2)=2x+2.$$

Z czterech rogów wycięto kwadraty o bokach $x-1$, $x-3$, $x-2$ i $x-4$. Pole zaznaczonej figury jest zatem równe

$$\begin{aligned} P={}&(2x+2)^2-(x-1)^2-(x-3)^2-(x-2)^2-(x-4)^2\\ ={}&(4x^2+8x+4)\\ &-\bigl(4x^2-20x+30\bigr)\\ ={}&28x-26. \end{aligned}$$

Założenie $x>4$ gwarantuje, że wszystkie podane długości są dodatnie.

a) Po rozwinięciu kwadratów wyrazy mieszane się redukują:

$$(\sqrt5x+2y)^2-(2x+\sqrt5y)^2=x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$

Ponieważ

$$x-y=2\sqrt[3]{3},\qquad x+y=2\sqrt[3]{9},$$

to

$$(x-y)(x+y)=4\sqrt[3]{27}=12.$$

b) Oznaczmy $u=2x-y$ i $v=x+2y$. Wówczas podane wyrażenie ma postać

$$u^2-2uv+v^2=(u-v)^2=(x-3y)^2.$$

Po podstawieniu danych wartości

$$x-3y=(\sqrt5-6)-3(\sqrt3-2)=\sqrt5-3\sqrt3,$$

a zatem

$$(x-3y)^2=(\sqrt5-3\sqrt3)^2=32-6\sqrt{15}.$$

c) Przyjmijmy $u=x+3y$ oraz $v=x-3y$. Ponieważ $uv=x^2-9y^2$, otrzymujemy

$$u^4-2u^2v^2+v^4=(u^2-v^2)^2.$$

Ponadto

$$u^2-v^2=(u-v)(u+v)=6y\cdot2x=12xy.$$

Dla podanych liczb

$$xy=\frac{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}4=\frac12,$$

więc $(12xy)^2=6^2=36$.

a) Rozwijamy kwadrat i wyłączamy $16$ przed nawias:

$$\begin{aligned} (4n+6)^2-4 &=16n^2+48n+36-4\\ &=16(n^2+3n+2)\\ &=16(n+1)(n+2). \end{aligned}$$

Liczba $(n+1)(n+2)$ jest całkowita, więc całe wyrażenie jest podzielne przez $16$.

b) Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$\begin{aligned} (n+9)^2-n^2 &=((n+9)-n)((n+9)+n)\\ &=9(2n+9). \end{aligned}$$

Liczba $2n+9$ jest całkowita, zatem wartość wyrażenia jest podzielna przez $9$.

Istnieją liczby naturalne $p,q$ takie, że

$$x=18p+8,\qquad y=27q+7.$$

Modulo $9$ mamy więc

$$x\equiv8\equiv-1\pmod9,qquad y\equiv7\equiv-2\pmod9.$$

Po podniesieniu do kwadratu i dodaniu:

$$x^2+y^2\equiv(-1)^2+(-2)^2=1+4=5\pmod9.$$