MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 90

Porównujemy trójmiany ze wzorami $u^2\pm2uv+v^2=(u\pm v)^2$:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad &x^2+10x+25=(x+5)^2,\\ \text{b)}\quad &81x^2+198xy+121y^2=(9x+11y)^2,\\ \text{c)}\quad &\frac9{16}w^2+wz+\frac49z^2 =\left(\frac34w+\frac23z\right)^2,\\ \text{d)}\quad &81m^2-180mp+100p^2=(9m-10p)^2,\\ \text{e)}\quad &0{,}04p^2-0{,}12pq+0{,}09q^2=(0{,}2p-0{,}3q)^2,\\ \text{f)}\quad &\frac1{36}x^2-xy+9y^2=\left(\frac16x-3y\right)^2. \end{aligned}$$

Stosujemy wzór $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$. W podpunkcie f przestawiamy pierwszy czynnik: $5+2x=2x+5$.

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad &(7-2k)(7+2k)=49-4k^2,\\ \text{b)}\quad &(4k+6l)(4k-6l)=16k^2-36l^2,\\ \text{c)}\quad &(9-\sqrt8x)(9+\sqrt8x)=81-8x^2,\\ \text{d)}\quad &(\sqrt6t+\sqrt7w)(\sqrt6t-\sqrt7w)=6t^2-7w^2,\\ \text{e)}\quad &(3x^2-1)(3x^2+1)=9x^4-1,\\ \text{f)}\quad &(2x+5)(2x-5)=4x^2-25. \end{aligned}$$

Zapisujemy wyrażenia jako różnice kwadratów:

$$\begin{aligned} \text{a)}\quad &49-64d^2=7^2-(8d)^2=(7+8d)(7-8d),\\ \text{b)}\quad &0{,}64a^2-16c^2=(0{,}8a)^2-(4c)^2 =(0{,}8a+4c)(0{,}8a-4c),\\ \text{c)}\quad &1\frac9{16}t^2-1=\frac{25}{16}t^2-1 =\left(\frac54t+1\right)\left(\frac54t-1\right). \end{aligned}$$

W każdym podpunkcie odejmujemy pole wyciętej części od pola figury zewnętrznej, a następnie stosujemy różnicę kwadratów.

a) $P=y^2-x^2=(y-x)(y+x).$

b) $P=(a+3)^2-k^2=(a+3-k)(a+3+k).$

c)

=\pi(8y-3x)(8y+3x).$$ **d)** Od pola dużego koła odejmujemy pola czterech kół o promieniu $t$: $$P=\pi r^2-4\pi t^2=\pi(r-2t)(r+2t).$$

Dwie niezerowe liczby są wzajemnie odwrotne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest równy $1$.

a) $ab=(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})=16-15=1.$

b)

=(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)=9-8=1.$$ **c)**

\begin{aligned} ab&=(10+4\sqrt6)(2{,}5-\sqrt6)\ &=25-10\sqrt6+10\sqrt6-24=1. \end{aligned}

**d)** $$ab=\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}(2-\sqrt3)^2 =(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1.$$ W każdym podpunkcie iloczyn wynosi $1$, więc $a$ jest liczbą odwrotną do $b$.