Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Zbiór zadań · szkoła średnia

MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 89

temat „2.8. Wzory skróconego mnożenia” · 6 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru (u−v)(u+v)=u2−v2(u-v)(u+v)=u^2-v^2:

a)(a+4)(a−4)=a2−42=a2−16,b)(2b−1)(2b+1)=(2b)2−12=4b2−1,c)(12p+q)(12p−q)=(12p)2−q2=14p2−q2,d)(4x−5y)(4x+5y)=16x2−25y2,e)(2x3−6)(2x3+6)=4x6−36,f)(23m−12n)(23m+12n)=49m2−14n2.\begin{aligned} \text{a)}\quad &(a+4)(a-4)=a^2-4^2=a^2-16,\\ \text{b)}\quad &(2b-1)(2b+1)=(2b)^2-1^2=4b^2-1,\\ \text{c)}\quad &\left(\frac12p+q\right)\left(\frac12p-q\right) =\left(\frac12p\right)^2-q^2=\frac14p^2-q^2,\\ \text{d)}\quad &(4x-5y)(4x+5y)=16x^2-25y^2,\\ \text{e)}\quad &(2x^3-6)(2x^3+6)=4x^6-36,\\ \text{f)}\quad &\left(\frac23m-\frac12n\right) \left(\frac23m+\frac12n\right)=\frac49m^2-\frac14n^2. \end{aligned}
Odpowiedź

a) a2−16a^2-16; b) 4b2−14b^2-1; c) 14p2−q2\frac14p^2-q^2; d) 16x2−25y216x^2-25y^2; e) 4x6−364x^6-36; f) 49m2−14n2\frac49m^2-\frac14n^2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Porównujemy wyrażenia ze wzorami u2±2uv+v2=(u±v)2u^2\pm2uv+v^2=(u\pm v)^2.

a) x2−0,5x+116=(x−14)2.x^2-0{,}5x+\frac1{16}=\left(x-\frac14\right)^2.

b) Dwie możliwości dają odpowiednio kwadrat różnicy i kwadrat sumy: 4p2−28pq+49q2=(2p−7q)2,4p^2-28pq+49q^2=(2p-7q)^2, 4p2−(−28pq)+49q2=(2p+7q)2.4p^2-(-28pq)+49q^2=(2p+7q)^2.

c) a4+9−6a2=a4−6a2+9=(a2−3)2.a^4+9-6a^2=a^4-6a^2+9=(a^2-3)^2.

d) 14y2+x2+xy=(x+12y)2.\frac14y^2+x^2+xy=\left(x+\frac12y\right)^2.

e) 0,04m2−0,12mn+0,09n2=(0,2m−0,3n)2.0{,}04m^2-0{,}12mn+0{,}09n^2=(0{,}2m-0{,}3n)^2.

f) Ponieważ 0,64=(45)20{,}64=\left(\frac45\right)^2, wpisanie 22 daje

=\left(\frac14y^3-\frac45\right)^2.$$
Odpowiedź

a) 116\frac1{16}; b) −28pq-28pq lub 28pq28pq; c) 99; d) 14y2\frac14y^2; e) 0,09n20{,}09n^2; f) 22.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Uzupełniamy jednomiany tak, aby otrzymać wzór na kwadrat sumy, kwadrat różnicy albo różnicę kwadratów:

a)(k+5)2=k2+10k+25,b)(3+2t)2=9+12t+4t2,c)(6x−8)2=36x2−96x+64,d)(7a−2c)2=49a2−28ac+4c2,e)(5m+3k)(5m−3k)=25m2−9k2,f)(x3−x2)(x3+x2)=x6−x4.\begin{aligned} \text{a)}\quad &(k+5)^2=k^2+10k+25,\\ \text{b)}\quad &(3+2t)^2=9+12t+4t^2,\\ \text{c)}\quad &(6x-8)^2=36x^2-96x+64,\\ \text{d)}\quad &(7a-2c)^2=49a^2-28ac+4c^2,\\ \text{e)}\quad &(5m+3k)(5m-3k)=25m^2-9k^2,\\ \text{f)}\quad &(x^3-x^2)(x^3+x^2)=x^6-x^4. \end{aligned}
Odpowiedź

a) (k+5)2=k2+10k+25(k+5)^2=k^2+10k+25; b) (3+2t)2=9+12t+4t2(3+2t)^2=9+12t+4t^2; c) (6x−8)2=36x2−96x+64(6x-8)^2=36x^2-96x+64; d) (7a−2c)2=49a2−28ac+4c2(7a-2c)^2=49a^2-28ac+4c^2; e) (5m+3k)(5m−3k)=25m2−9k2(5m+3k)(5m-3k)=25m^2-9k^2; f) (x3−x2)(x3+x2)=x6−x4(x^3-x^2)(x^3+x^2)=x^6-x^4.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Każde wyrażenie zapisujemy jako różnicę kwadratów i stosujemy u2−v2=(u+v)(u−v)u^2-v^2=(u+v)(u-v):

a)49−9x2=(7+3x)(7−3x),b)25y2−36z2=(5y+6z)(5y−6z),c)1649z2−4964w2=(47z+78w)(47z−78w),d)179a2−1=169a2−1=(43a+1)(43a−1),e)100p2−0,01q2=(10p+0,1q)(10p−0,1q),f)3x2−5y2=(3x+5y)(3x−5y).\begin{aligned} \text{a)}\quad &49-9x^2=(7+3x)(7-3x),\\ \text{b)}\quad &25y^2-36z^2=(5y+6z)(5y-6z),\\ \text{c)}\quad &\frac{16}{49}z^2-\frac{49}{64}w^2 =\left(\frac47z+\frac78w\right)\left(\frac47z-\frac78w\right),\\ \text{d)}\quad &1\frac79a^2-1=\frac{16}{9}a^2-1 =\left(\frac43a+1\right)\left(\frac43a-1\right),\\ \text{e)}\quad &100p^2-0{,}01q^2 =(10p+0{,}1q)(10p-0{,}1q),\\ \text{f)}\quad &3x^2-5y^2 =(\sqrt3x+\sqrt5y)(\sqrt3x-\sqrt5y). \end{aligned}
Odpowiedź

a) (7+3x)(7−3x)(7+3x)(7-3x); b) (5y+6z)(5y−6z)(5y+6z)(5y-6z); c) (47z+78w)(47z−78w)\left(\frac47z+\frac78w\right)\left(\frac47z-\frac78w\right); d) (43a+1)(43a−1)\left(\frac43a+1\right)\left(\frac43a-1\right); e) (10p+0,1q)(10p−0,1q)(10p+0{,}1q)(10p-0{,}1q); f) (3x+5y)(3x−5y)(\sqrt3x+\sqrt5y)(\sqrt3x-\sqrt5y).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Stosujemy wzory na kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów:

a)(2+1)2=2+22+1=3+22,b)(7−3)2=7−67+9=16−67,c)(27+23)2=27+227⋅23+23=50+669,d)(11−3)(11+3)=11−3=8.\begin{aligned} \text{a)}\quad &(\sqrt2+1)^2=2+2\sqrt2+1=3+2\sqrt2,\\ \text{b)}\quad &(\sqrt7-3)^2=7-6\sqrt7+9=16-6\sqrt7,\\ \text{c)}\quad &(\sqrt{27}+\sqrt{23})^2 =27+2\sqrt{27\cdot23}+23 =50+6\sqrt{69},\\ \text{d)}\quad &(\sqrt{11}-\sqrt3)(\sqrt{11}+\sqrt3)=11-3=8. \end{aligned}
Odpowiedź

a) 3+223+2\sqrt2; b) 16−6716-6\sqrt7; c) 50+66950+6\sqrt{69}; d) 88.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

8 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystamy z różnicy kwadratów:

a)91⋅89=(90+1)(90−1)=902−1=8099,b)26⋅24=(25+1)(25−1)=252−1=624,c)82⋅78=(80+2)(80−2)=802−22=6396,d)1702−702=(170−70)(170+70)=100⋅240=24 000,e)1022−982=4⋅200=800,f)(1529)2−(1429)2=(15−14)(15+14)292=129,g)522−482=4⋅100=20,h)2182−1822=36⋅400=120.\begin{aligned} \text{a)}\quad &91\cdot89=(90+1)(90-1)=90^2-1=8099,\\ \text{b)}\quad &26\cdot24=(25+1)(25-1)=25^2-1=624,\\ \text{c)}\quad &82\cdot78=(80+2)(80-2)=80^2-2^2=6396,\\ \text{d)}\quad &170^2-70^2=(170-70)(170+70)=100\cdot240=24\,000,\\ \text{e)}\quad &102^2-98^2=4\cdot200=800,\\ \text{f)}\quad &\left(\frac{15}{29}\right)^2-\left(\frac{14}{29}\right)^2 =\frac{(15-14)(15+14)}{29^2}=\frac1{29},\\ \text{g)}\quad &\sqrt{52^2-48^2}=\sqrt{4\cdot100}=20,\\ \text{h)}\quad &\sqrt{218^2-182^2}=\sqrt{36\cdot400}=120. \end{aligned}
Odpowiedź

a) 80998099; b) 624624; c) 63966396; d) 24 00024\,000; e) 800800; f) 129\frac1{29}; g) 2020; h) 120120.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem