MATeMAtyka 1. Zbiór zadań, strona 88 — rozwiązania zadań

Zadanie 21

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzorów $(u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3$ oraz $(u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3.$

a) Dla $a=\frac12$ :

=\frac18+\frac1{27}=\frac{35}{216}.$$ **b)** Dla $a=-\frac72$: $$a^3-\left(\frac12\right)^3 =-\frac{343}{8}-\frac18=-43.$$

Odpowiedź

a) $\frac{35}{216}$ ; b) $-43$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 22

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $(x-3)(x^2+3x+9)=x^3-27.$

b) $(2x+3)(4x^2-6x+9)=8x^3+27.$

c) $(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)=x^3-8y^3.$

d) $(x^2-2x+1)(x^2+x+1)=x^4-x^3-x+1.$

Odpowiedź

a) $x^3-27$ ; b) $8x^3+27$ ; c) $x^3-8y^3$ ; d) $x^4-x^3-x+1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 23

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Traktujemy czynniki jako $(k^2+1+k)(k^2+1-k)$ : $(k^2+1)^2-k^2=k^4+k^2+1.$

b) Po wymnożeniu i redukcji:

=-x^4+5x^3-7x^2+x+2.$$ **c)** $$(2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+5x^2+2x+1.$$ **d)** Dla $u=5x^2+2x$ mamy $$(u-1)(u+1)=u^2-1=25x^4+20x^3+4x^2-1.$$

Odpowiedź

a) $k^4+k^2+1$ ; b) $-x^4+5x^3-7x^2+x+2$ ; c) $4x^4+4x^3+5x^2+2x+1$ ; d) $25x^4+20x^3+4x^2-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 24

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Kolejno mnożymy nawiasy, wykorzystując w wygodnych miejscach różnicę kwadratów.

a) $(x+1)(x+2)(x+3)=x^3+6x^2+11x+6.$

b) $(2x+3)(3x+4)(4x+5)=24x^3+98x^2+133x+60.$

c)

=x^6+x^5+x^4+2x^3+x^2+x+1.$$ **d)** $$(1-t)(1+t)(1+t^2)(1+t^4)=1-t^8.$$ **e)** $$(a^2-b^2)(a-b)(a+b)=(a^2-b^2)^2 =a^4-2a^2b^2+b^4.$$ **f)** $$(2-t)(2+t)(3-t)(3+t)=(4-t^2)(9-t^2) =t^4-13t^2+36.$$

Odpowiedź

a) $x^3+6x^2+11x+6$ ; b) $24x^3+98x^2+133x+60$ ; c) $x^6+x^5+x^4+2x^3+x^2+x+1$ ; d) $1-t^8$ ; e) $a^4-2a^2b^2+b^4$ ; f) $t^4-13t^2+36$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 25

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $6x+(x-2)(x-3)=6x+x^2-5x+6=x^2+x+6.$

b) $6x-(x-2)(x-3)=6x-x^2+5x-6=-x^2+11x-6.$

c) $(4-2x)(x+8)-(2+3x)(3-5x)=13x^2-11x+26.$

d) Po wymnożeniu kolejnych iloczynów i redukcji dostajemy

=x^3+7x^2+15x+9.$$ **e)** Zapisujemy składniki symetrycznie względem $x$: $$(x+4)((x+4)^2-4)+(x-4)((x-4)^2-4)$$ $$=2x^3+88x.$$

Odpowiedź

a) $x^2+x+6$ ; b) $-x^2+11x-6$ ; c) $13x^2-11x+26$ ; d) $x^3+7x^2+15x+9$ ; e) $2x^3+88x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 26

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dwie takie liczby można zapisać jako $100a+25$ i $100b+25$ , gdzie $a,b\in\mathbb N$ . Ich iloczyn jest równy $(100a+25)(100b+25)$ $=10000ab+2500a+2500b+625$ $=100(100ab+25a+25b+6)+25.$ Ma więc postać $100q+25$ dla pewnej liczby naturalnej $q$ , czyli jego dwie ostatnie cyfry to $25$ .

Odpowiedź

Iloczyn ma postać $100q+25$ , zatem kończy się cyframi $25$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 27

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $(5-2x)(1-3x)=(6x+4)x.$ Po rozwinięciu: $6x^2-17x+5=6x^2+4x,$ stąd $21x=5$ i $x=\frac5{21}$ .

b) Ponieważ $6x-C=9x-1$ , mamy $(6x+4)(1-3x)=(5-2x)(9x-1).$ Po rozwinięciu: $-18x^2-6x+4=-18x^2+47x-5,$ stąd $53x=9$ i $x=\frac9{53}$ .

Odpowiedź

a) $x=\frac5{21}$ ; b) $x=\frac9{53}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 28

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy trójmian na czynniki: $12x^2-46x+20=(3x-10)(4x-2).$ Porównanie z postacią $(kx-m)(nx-p)$ daje na przykład $k=3,\qquad m=10,\qquad n=4,\qquad p=2.$ Sprawdzenie:

=12x^2-46x+20.$$

Odpowiedź

Jednym rozwiązaniem jest $k=3$ , $m=10$ , $n=4$ , $p=2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem