MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 87

Po wykonaniu mnożenia otrzymujemy:

a) $8x^2+2x-55$, więc suma współczynników wynosi $8+2-55=-45$.

b) $6x^3-5x^2-16x+15$, więc suma wynosi $6-5-16+15=0$.

c) $x^6+x^5+x^4+2x^3+x^2+x+1$, więc suma wynosi $8$.

d) $x^3+9x^2+26x+24$, więc suma wynosi $60$.

Po podstawieniu $x=1$ do wyjściowych iloczynów dostajemy odpowiednio $-45$, $0$, $8$ i $60$. Jest tak zawsze: suma współczynników wielomianu jest równa jego wartości dla $x=1$.

Porównujemy współczynniki wielomianów po obu stronach każdej równości.

a) $(8x+3)(2x+m)=16x^2+(8m+6)x+3m.$ Warunki $8m+6=102$ i $3m=36$ dają $m=12$.

b) $(3x+m)(5x-2)=15x^2+(5m-6)x-2m.$ Z $-2m=-12$ otrzymujemy $m=6$; wtedy $5m-6=24$.

c) $(mx+4)(6x-2)=6mx^2+(24-2m)x-8.$ Równość $6m=60$ daje $m=10$ i również $24-2m=4$.

d) $(4x+9)(6x-8)=24x^2+22x-72,$ zatem $m=22$.

a) $x+(x-1)(2x-1)=2x^2-2x+1.$ Dla $x=-0{,}1$ wartość wynosi $0{,}02+0{,}2+1=1{,}22$.

b) $(2x-3)(x+6)-x(2x^2+4x+9)=-2x^3-2x^2-18.$ Dla $x=\frac23$ otrzymujemy $-\frac{16}{27}-\frac89-18=-\frac{526}{27}=-19\frac{13}{27}.$

c)

Rozwijamy iloczyny: $(n+1)(n+2)+(n+1)(n+3)+(n+2)(n+3)$ $=3n^2+12n+11=3(n^2+4n+3)+2.$ Pierwszy składnik ostatniej sumy jest podzielny przez $3$, a cały wynik daje przy dzieleniu przez $3$ resztę $2$. Nie może więc być podzielny przez $3$ dla żadnego $n\in\mathbb N$.

Po wymnożeniu $(x-\sqrt2)(x+A)=x^2+(A-\sqrt2)x-A\sqrt2.$ Aby współczynnik przy $x$ i wyraz wolny były całkowite, wybieramy $A=\sqrt2$. Wtedy oba niewymierne składniki znikają: $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)=x^2-2.$ Jest to zarazem jedyna możliwość: z $A-\sqrt2\in\mathbb Z$ mamy $A=\sqrt2+k$ dla pewnego $k\in\mathbb Z$, a wtedy $-A\sqrt2=-2-k\sqrt2$ jest całkowite tylko dla $k=0$.

Rozwijamy obie strony danej równości: $18x^2-30xy-12y^2=18x^2+19xy-12y^2+35.$ Po redukcji otrzymujemy $-49xy=35,\qquad xy=-\frac57.$

a) Dla $x=-5$ mamy $-5y=-\frac57$, zatem $y=\frac17$.

b) Dla $y=15$ mamy $15x=-\frac57$, zatem $x=-\frac1{21}$.

Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki.

a) $\frac{2(x+4)}{2(x-3)}\cdot\frac{3(x-3)}{3(x+4)}=1.$ Skracane czynniki są niezerowe dzięki założeniom $x\ne3$ i $x\ne-4$.

b) $\frac{3(x-2)}{3(x+3)}\cdot\frac{2(x+3)}{2(x-2)}=1.$ Tutaj skracanie jest dozwolone dla $x\ne-3$ i $x\ne2$.