MATeMAtyka 1. Zbiór zadań, strona 86 — rozwiązania zadań

Zadanie 7

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozdzielamy mnożenie względem dodawania i redukujemy wyrazy podobne.

a)

=\frac{3(x+4)\cdot2(x-2)}6=(x+4)(x-2)=x^2+2x-8.$$ **b)** $$\frac{(7-2x)(-7-2x)}5 =\frac{4x^2-49}{5}=\frac45x^2-\frac{49}{5}.$$ **c)** $$\frac{(8x-y)(8x+y)}3=\frac{64x^2-y^2}{3} =\frac{64}{3}x^2-\frac13y^2.$$ **d)** $$\frac{(2x+4)(6x+9)}6 =\frac{12x^2+42x+36}{6}=2x^2+7x+6.$$ **e)** $$4(x+1)(x^2-x+1)=4(x^3+1)=4x^3+4.$$ **f)** $$\frac{(x^2-3)(x^2+x+1)}9 =\frac{x^4+x^3-2x^2-3x-3}{9}$$ $$=\frac19x^4+\frac19x^3-\frac29x^2-\frac13x-\frac13.$$

Odpowiedź

a) $x^2+2x-8$ ; b) $\frac45x^2-\frac{49}{5}$ ; c) $\frac{64}{3}x^2-\frac13y^2$ ; d) $2x^2+7x+6$ ; e) $4x^3+4$ ; f) $\frac19x^4+\frac19x^3-\frac29x^2-\frac13x-\frac13$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy kolejno nawiasy.

a)

=6x^2-3xy-9y^2+3x+3y.$$ **b)** Najpierw $$(9x^2+3)(2x^2+1)=18x^4+15x^2+3.$$ Po pomnożeniu przez $5x-1$ otrzymujemy $$90x^5-18x^4+75x^3-15x^2+15x-3.$$ **c)** $$(p+q)(p-q)(p^2+q^2) =(p^2-q^2)(p^2+q^2)=p^4-q^4.$$ **d)** Iloczyn dwóch pierwszych nawiasów jest równy $$0{,}1x^3y^3+0{,}2xy^2-0{,}5x^2y-1.$$ Po pomnożeniu przez $x+y$ dostajemy $$0{,}1x^4y^3+0{,}1x^3y^4-0{,}5x^3y-0{,}3x^2y^2 {}+0{,}2xy^3-x-y.$$

Odpowiedź

a) $6x^2-3xy-9y^2+3x+3y$ ; b) $90x^5-18x^4+75x^3-15x^2+15x-3$ ; c) $p^4-q^4$ ; d) $0{,}1x^4y^3+0{,}1x^3y^4-0{,}5x^3y-0{,}3x^2y^2+0{,}2xy^3-x-y$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z pól kwadratów wynika, że ich boki mają długości odpowiednio $x$ , $y$ i $z$ . Zgodnie z rysunkiem kolorowy obszar dzielimy na:

prostokąt o bokach $x$ i $y+z$ ,
prostokąt o bokach $y$ i $z$ .

Zatem $P=x(y+z)+yz=xy+xz+yz.$

Odpowiedź

Pole zaznaczonej figury wynosi $xy+xz+yz$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Figura jest prostokątem o bokach $x+8$ i $x+4$ , z którego wycięto kwadrat o boku $x$ . Stąd $P=(x+8)(x+4)-x^2=12x+32.$

b) Z domknięcia schodkowego obwodu wynika, że nieopisane wysokości kolejnych pionowych pasów są równe $y-5$ , $x+y-5$ i $x-5$ . Szerokości tych pasów to odpowiednio $x$ , $y$ i $y$ , zatem $P=x(y-5)+y(x+y-5)+y(x-5)$ $=y^2+3xy-5x-10y.$

Aby wszystkie długości na narysowanej figurze były dodatnie, w podpunkcie b) potrzebne jest także $y>5$ ; w treści podano jedynie $y>0$ .

Odpowiedź

a) $12x+32$ ; b) $y^2+3xy-5x-10y$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego.

a) $(x^2-y)(x+y^2)=x^3+x^2y^2-xy-y^3.$

b) $(xy+1)(x-y)=x^2y-xy^2+x-y.$

c) $(x^2+y^2)(x-y)=x^3-x^2y+xy^2-y^3.$

d)

=-x^3y^3+xy.$$

Odpowiedź

a) $x^3+x^2y^2-xy-y^3$ ; b) $x^2y-xy^2+x-y$ ; c) $x^3-x^2y+xy^2-y^3$ ; d) $-x^3y^3+xy$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $x$ oznacza długość boku kwadratu. Prostokąt ma wymiary $x+3$ oraz $x-2$ . Ponieważ jego szerokość musi być dodatnia, $x>2$ . Warunek z zadania ma postać $x^2>(x+3)(x-2)=x^2+x-6.$ Po odjęciu $x^2$ otrzymujemy $x<6$ . Łącząc oba warunki, mamy $2<x<6.$

Odpowiedź

Bok kwadratu ma długość większą niż $2$ cm i mniejszą niż $6$ cm.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Gdy $n$ jest najmniejszą liczbą, pozostałe to $n+1$ i $n+2$ . Zatem $n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n.$

b) Gdy $n$ jest liczbą środkową, liczby mają postać $n-1,n,n+1$ . Dla $n>0$ otrzymujemy $(n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=n^3-n.$

Odpowiedź

a) $n^3+3n^2+2n$ ; b) $n^3-n$ dla $n>0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem