MATeMAtyka 1. Zbiór zadań — strona 84

Dobieramy taki czynnik liczbowy, aby po podzieleniu wszystkie współczynniki w nawiasie były całkowite.

a) $\frac17xy(2+3xy)$. b) $0{,}1(9k^2-3m^2+5)$. c) $0{,}001(x^2-x-1)$. d) $\frac18p(4p-2+p^2)$.

Zapiszmy $k=6u$ i $m=15v$ dla $u,v\in\mathbb N$.

a) $k+m=6u+15v=3(2u+5v)$, więc stwierdzenie jest prawdziwe.

b) $5k+2m=30u+30v=30(u+v)$, więc stwierdzenie jest prawdziwe.

c) $\frac12k+\frac15m=3u+3v=3(u+v)$, więc stwierdzenie jest prawdziwe.

Najmniejsze wykładniki $x$ i $y$ w składnikach wynoszą odpowiednio $-5$ i $-4$. Możemy więc wyłączyć $3x^{-5}y^{-4}$:

$$18x^{-5}y^2-6x^3y^{-2}+9x^{-4}y^{-4}+27xy$$ $$=3x^{-5}y^{-4} (6y^6-2x^8y^2+3x+9x^6y^5).$$

W nawiasie wszystkie wykładniki są nieujemne.

Wyłączamy wspólną potęgę niewiadomej i korzystamy z zasady iloczynu równego zeru.

a) $x(x+2)=0$, więc $x\in\{-2,0\}$. b) $y(y-3)=0$, więc $y\in\{0,3\}$. c) $2x(x-2)=0$, więc $x\in\{0,2\}$. d) $z(-6z+1)=0$, więc $z\in\{0,\frac16\}$. e) $q^2(q-1)=0$, więc $q\in\{0,1\}$. f) $x^3(4x+1)=0$, więc $x\in\{-\frac14,0\}$.

a) $2^{24}+2^{21}=2^{21}(8+1)=2^{17}\cdot144,$ więc liczba jest podzielna przez $144$.

b) $8^9-2^{24}=2^{27}-2^{24}=2^{24}(8-1)=7\cdot2^{24},$ co jest wielokrotnością $56=7\cdot8$.

c) $10^8+5^9=5^8(2^8+5)=5^8\cdot261=29\cdot9\cdot5^8.$

d) $9^7+3^{12}=3^{14}+3^{12}=3^{12}(9+1)=10\cdot3^{12},$ co jest podzielne przez $15$.

Dla $n\geq1$ wyłączamy najniższą potęgę.

a) $2^{n-1}+2^n+2^{n+2}=2^{n-1}(1+2+8)=11\cdot2^{n-1}.$

b) $3^n+3^{n+1}+3^{n+2}=3^n(1+3+9)=13\cdot3^n,$ a czynnik $3^n$ jest podzielny przez $3$, więc całość przez $39$.

c)

=5^{2n-1}(1+25+625)=651\cdot5^{2n-1}.$$ Liczba $651$ jest podzielna przez $3$, a $5^{2n-1}$ przez $5$, więc iloczyn jest podzielny przez $15$.